Ecuaciones de segundo grado, de cero

Una ecuación de segundo grado se ordena como ax² + bx + c = 0 y se resuelve con la fórmula general: x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a. Con x² − 5x + 6 = 0 salen x = 3 y x = 2. El discriminante (b² − 4ac) dice cuántas soluciones hay antes de calcular: positivo dos, cero una, negativo ninguna real. Si la ecuación está incompleta la fórmula sobra: sin término independiente se saca factor común y el 0 siempre es solución; sin término en x se despeja x² y la raíz da dos valores, uno positivo y otro negativo. Y toda solución se comprueba metiéndola en la ecuación: tiene que dar cero.

Ecuaciones de segundo grado, desde cero y sin saltarme nada.

Qué es una ecuación de segundo grado

Empecemos por lo más básico, porque no quiero dar nada por sabido. Una ecuación es una igualdad que tiene una letra dentro, y resolverla es averiguar qué número se esconde detrás de esa letra. Cuando la letra aparece elevada al cuadrado, y no hay nada elevado a más que eso, decimos que la ecuación es de segundo grado. De ahí le viene el nombre: del dos pequeño que va arriba. Y todas ellas, sin excepción, se pueden ordenar de esta forma: a equis cuadrado, más be equis, más ce, igual a cero.

Quiénes son a, b y c

Ahora hablemos de esas tres letras, porque no son incógnitas: son los números que ya te dan, y hay que saber cuál es cuál antes de tocar nada. Vamos con la ecuación que nos va a acompañar todo el video: equis cuadrado, menos cinco equis, más seis, igual a cero. La a es el número que multiplica a la equis cuadrado. Y aquí pasa algo que confunde mucho: delante de la equis cuadrado no hay ningún número escrito. Fíjate bien, porque cuando no hay número es que hay un uno, ya que equis cuadrado significa lo mismo que uno por equis cuadrado. La a vale uno. La be es el número que multiplica a la equis sola, y aquí pone menos cinco. Y ahora lo más importante del video entero: el signo va pegado al número. La be no es cinco: es menos cinco, con su menos incluido. Y la ce es el número que va suelto, sin ninguna equis al lado: aquí es seis.

La fórmula general

Con esos tres números ya se puede usar la fórmula general, que es la misma siempre, para cualquier ecuación de segundo grado del mundo. Es esta, y vamos a leerla despacio antes de usarla, porque si no la entiendes no vas a poder usarla bien. Equis es igual a: menos be, más o menos la raíz cuadrada de, be al cuadrado menos cuatro a ce, y todo eso dividido entre dos a. Vamos a mirar sus tres partes por separado. Aquí, menos be. Aquí dentro de la raíz, be al cuadrado menos cuatro a ce. Y aquí abajo, dividiendo, dos a. Y ese más o menos del medio no significa que dudemos: es una instrucción. Quiere decir que la cuenta se hace dos veces, una sumando y otra restando, y por eso salen dos soluciones y no una sola.

Meter los números

Vamos a meter nuestros números, uno por uno, sin correr. Empezamos por menos be. Nuestra be vale menos cinco, así que menos be es menos, menos cinco. Y aquí está el error más común de todo el tema, así que para un segundo y míralo bien: cuando tienes dos signos menos seguidos, el resultado es positivo. Menos, menos cinco, es más cinco. Si te quedas aquí con menos cinco, todo lo que hagas después te va a salir mal por muy bien que hagas el resto de la cuenta. Es el fallo que más veo. Y ahora vamos con el de abajo, el dos a: la a vale uno, así que dos por uno es dos. El denominador de nuestra fracción es dos.

Lo de dentro de la raíz

Ahora lo de dentro de la raíz, que tiene dos trozos y los vamos a hacer por separado. El primer trozo es be al cuadrado. Nuestra be vale menos cinco, así que be al cuadrado es menos cinco al cuadrado, es decir, menos cinco multiplicado por menos cinco. Otra vez dos números negativos multiplicándose: el resultado es positivo. Veinticinco. El segundo trozo es cuatro a ce, que significa cuatro por a por ce, los tres multiplicados: cuatro por uno por seis. Cuatro por uno es cuatro. Cuatro por seis es veinticuatro. Y ahora se restan, en ese orden, el primero menos el segundo: veinticinco menos veinticuatro es uno. Dentro de la raíz nos ha quedado un uno, y la raíz cuadrada de uno es uno, porque uno por uno es uno.

Las dos soluciones

Ya tenemos todas las piezas. La cuenta que nos queda es: cinco, más o menos uno, dividido entre dos. Y ahora hacemos las dos versiones, que es lo que nos pedía ese más o menos. Primero con el más: cinco más uno son seis, y seis entre dos son tres. Esa es una de las soluciones. Ahora con el menos: cinco menos uno son cuatro, y cuatro entre dos son dos. Esa es la otra. Las dos soluciones de nuestra ecuación son tres y dos. Y fíjate en que las dos han salido números enteros y limpios: cuando salen así de redondos suele ser buena señal de que vas bien.

Comprueba tú mismo

Y ahora te voy a enseñar algo que casi nadie explica y que te va a servir en todos los exámenes de tu vida: cómo saber tú solo si lo has hecho bien, sin preguntarle a nadie y sin mirar el solucionario. Es muy sencillo. Coges tu solución, la metes en la ecuación original en el sitio donde está la equis, y haces la cuenta. Si te da cero, esa solución es correcta. Vamos a probar con el tres. Tres al cuadrado son nueve. Menos cinco por tres son quince, así que va menos quince. Y luego más seis. Entonces: nueve, menos quince, más seis. Nueve menos quince es menos seis, y menos seis más seis es cero. Da cero. Ahora probamos el dos: cuatro, menos diez, más seis, que también es cero. Los dos son solución.

Ejercicio 1, paso a paso

Vamos con el primer ejercicio, y lo vamos a resolver juntos en la pizarra antes de tocar nada. Equis cuadrado, menos siete equis, más doce, igual a cero, y nos piden la solución mayor. Primero las letras, como siempre: la a vale uno, porque delante de la equis cuadrado no hay ningún número escrito; la be vale menos siete, con su signo pegado; y la ce vale doce. Ahora el discriminante. Be al cuadrado es menos siete al cuadrado, y como son dos negativos multiplicándose sale positivo: cuarenta y nueve. Cuatro a ce es cuatro por uno por doce, que son cuarenta y ocho. Cuarenta y nueve menos cuarenta y ocho es uno, y la raíz de uno es uno. Menos be, con be valiendo menos siete, es más siete. Con el más: siete más uno son ocho, entre dos, cuatro. Con el menos: siete menos uno son seis, entre dos, tres. Nos piden la mayor de las dos, así que la respuesta es cuatro. Y ahora sí, la marco.

Practica gratis

Y quiero que mires bien esto que tienes ahora aquí a la derecha, porque es nuestro y es gratis. Es una página de ejercicios: tutoriolab.com, barra ejercicios, barra ecuación segundo grado. Cada vez que entras te salen ecuaciones distintas, así que puedes practicar todas las veces que quieras sin repetir. Y lo que de verdad importa: cuando te equivocas no te suelta un "incorrecto" y te deja igual que estabas. Te dice qué error has cometido, con su nombre, y te enseña la cuenta hecha paso a paso.

Qué es el discriminante

Ahora vamos a ponerle nombre a una parte de la fórmula, porque la vas a oír nombrar mucho. A lo que hay dentro de la raíz, be al cuadrado menos cuatro a ce, se le llama el discriminante. Se escribe con una letra griega que parece un triángulo y que se llama delta. Y no es un nombre puesto por capricho: ese número, él solito, te dice cuántas soluciones vas a encontrar antes de que te pongas a calcularlas. Por eso conviene sacarlo lo primero: con mirarlo diez segundos ya sabes si hay algo que buscar o si no hay nada.

Los tres casos

Y los casos son tres, nada más. Si el discriminante sale positivo, o sea mayor que cero, entonces hay dos soluciones distintas: es lo que nos pasó a nosotros, que nos salió uno. Si sale exactamente cero, entonces hay una sola solución, y a esa se le llama solución doble. Y si sale negativo, no hay ninguna solución real. El motivo es sencillo y quiero que lo entiendas en vez de memorizarlo: tendrías que sacar la raíz cuadrada de un número negativo, y eso no existe, porque cualquier número multiplicado por sí mismo da positivo. Mira este ejemplo: equis cuadrado más dos equis más cinco. Be al cuadrado son cuatro; cuatro a ce son cuatro por uno por cinco, veinte; y cuatro menos veinte da menos dieciséis. Negativo. Esa ecuación no tiene solución, y lo hemos sabido sin calcular nada más.

Si falta el término suelto

Ahora un caso que se busca muchísimo y que casi nadie explica bien: qué pasa cuando la ecuación está incompleta, es decir, cuando le falta alguno de los tres términos. Y lo que quiero que veas es que ahí la fórmula general sobra, porque se resuelve más rápido sin ella. Primer caso: falta el término suelto, no hay ce. Por ejemplo, dos equis cuadrado menos ocho equis igual a cero. Fíjate en que los dos términos llevan equis, así que podemos sacar la equis como factor común: dos equis, por, equis menos cuatro. Y ahora usamos algo que sabes desde primaria: si multiplicas dos cosas y el resultado es cero, es que una de las dos tiene que ser cero. Así que, o es cero el dos equis, y entonces equis vale cero, o es cero el equis menos cuatro, y entonces equis vale cuatro. Dos soluciones, cero y cuatro, sin haber usado la fórmula. Y apúntate esto: cuando falta la ce, el cero siempre va a ser una de las soluciones.

Si falta la x sola

Y vamos con el segundo caso: ahora falta la equis sola, no hay be. Por ejemplo, dos equis cuadrado menos dieciocho igual a cero. Aquí no podemos sacar factor común, porque el dieciocho no lleva ninguna equis. Así que se despeja igual que cualquier ecuación normal. Pasamos el dieciocho al otro lado, y al pasar cambia de signo, así que allí suma: dos equis cuadrado igual a dieciocho. Ahora el dos está multiplicando, así que pasa al otro lado dividiendo: equis cuadrado igual a dieciocho entre dos, que es nueve. Y ya solo queda quitarle el cuadrado a la equis, que se hace sacando la raíz. Y aquí está la trampa que cuesta media nota: la raíz de nueve es tres, sí, pero también es menos tres. Porque menos tres por menos tres también da nueve. Hay dos soluciones: tres y menos tres.

Un problema de examen

Y ahora vamos con lo que de verdad cae en los exámenes, que casi nunca es una ecuación ya escrita: es un problema con palabras que tienes que convertir en ecuación tú mismo. Este: un rectángulo mide tres metros más de largo que de ancho, y su área es de cuarenta metros cuadrados. ¿Cuánto mide el ancho? El primer paso, y es el que más cuesta de todos, es ponerle letra a lo que no sabes. Lo que nos están preguntando es el ancho, así que decimos que el ancho es equis. Y ahora atención, porque aquí es donde mucha gente se pierde: el largo no es otra letra nueva. El enunciado nos dice que el largo es tres metros más que el ancho, así que el largo es equis más tres. Con una sola letra ya tenemos descritos los dos lados.

Montar la ecuación

Ahora montamos la ecuación. El área de un rectángulo es el ancho multiplicado por el largo, y nos dicen que vale cuarenta: equis, por, equis más tres, igual a cuarenta. Multiplicamos lo del paréntesis: equis por equis es equis cuadrado, y equis por tres es tres equis. Nos queda equis cuadrado más tres equis igual a cuarenta. Y ahora hay que ordenarla, porque la fórmula solo funciona si a la derecha hay un cero: pasamos el cuarenta al otro lado restando. Equis cuadrado más tres equis menos cuarenta igual a cero. Ya está lista para la fórmula.

Resolverla y elegir

Sacamos las letras: la a vale uno, la be vale tres y la ce vale menos cuarenta. Vamos al discriminante. Tres al cuadrado son nueve. Y cuatro a ce es cuatro por uno por menos cuarenta, que da menos ciento sesenta. Y ojo aquí, que es otro sitio donde se falla mucho: al restar un número negativo lo que hace en realidad es sumar. Nueve más ciento sesenta, ciento sesenta y nueve. La raíz de ciento sesenta y nueve es trece, y esa conviene sabérsela. Las dos soluciones salen así: menos tres más trece, entre dos, cinco; y menos tres menos trece, entre dos, menos ocho. Y aquí viene lo que separa a quien ha entendido el problema de quien solo ha hecho cuentas: un lado de un rectángulo no puede medir menos ocho metros, así que esa solución se descarta. El ancho es cinco. Y lo comprobamos: si el ancho es cinco, el largo es ocho, y cinco por ocho son cuarenta.

Ejercicio 2, paso a paso

Segundo y último ejercicio, y es ese mismo problema. Quiero que veas el camino entero otra vez seguido, sin parar, para que se te quede la estructura completa en la cabeza. Le pones letra al ancho. El largo es equis más tres, porque el enunciado lo dice. Multiplicas para quitar el paréntesis. Ordenas la ecuación dejando el cero a la derecha. Sacas el discriminante y le haces la raíz. Y de las dos soluciones que salen, te quedas con la que tiene sentido en el problema. El ancho es cinco metros. Y ahora mira la trampa del ocho, que es la mejor de todas las que hay aquí: el ocho sale de la ecuación y es un número perfectamente correcto, pero es el largo, no el ancho. Es el error clásico de contestar sin volver a leer qué te estaban preguntando exactamente.

Los cuatro pasos

Repasamos los cuatro pasos, que van a ser siempre los mismos. Uno: ordena la ecuación dejando el cero a la derecha, y apúntate las tres letras con sus signos pegados. Dos: saca el discriminante, be al cuadrado menos cuatro a ce, y mira su signo para saber cuántas soluciones vas a tener. Tres: si a la ecuación le falta algún término, no uses la fórmula, saca factor común o despeja directamente, que es bastante más rápido. Y cuatro: comprueba siempre metiendo tu solución dentro de la ecuación, que tiene que darte cero. Practícalo en tutoriolab.com, barra ejercicios, barra ecuación segundo grado.

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