Logaritmos, de cero y fácil
Un logaritmo es una potencia mirada al revés: si 2³ = 8, entonces log₂8 = 3. Por eso resolver cualquier logaritmo es contestar una sola pregunta: ¿a qué elevo la base para que dé el número de dentro? Cuando no se escribe base, la base es 10 (logaritmo común) y con potencias de 10 basta con contar los ceros: log 1000 = 3, log 1 000 000 = 6. El logaritmo de 1 vale 0 en cualquier base (porque b⁰ = 1) y el de la propia base vale 1; el de 0 y el de un negativo no existen. Las tres propiedades salen de las leyes de las potencias: log a + log b = log(a·b), log a − log b = log(a÷b) y log(aⁿ) = n·log a. Y el error más caro: log(a + b) NO es log a + log b.
Los logaritmos, desde cero y sin memorizar nada.
Qué pregunta un logaritmo
Vamos a empezar por lo que de verdad importa, porque si esto lo entiendes el resto del video es fácil. Un logaritmo no es una operación rara: es una potencia mirada al revés. Coge esta potencia: dos elevado a tres, igual a ocho. Ahí hay tres piezas: la base, que es el dos; el exponente, que es el tres; y el resultado, que es el ocho. Normalmente te dan la base y el exponente y te piden el resultado. Pues un logaritmo hace lo contrario: te da la base y el resultado, y te pide el exponente. Logaritmo en base dos de ocho es igual a tres. Y se lee exactamente así: logaritmo en base dos de ocho. Es la misma cuenta de antes, preguntada al revés.
Cómo se resuelve cualquiera
Y de ahí sale la forma de resolver cualquier logaritmo, que es una sola pregunta: ¿a qué tengo que elevar la base para que me dé el número de dentro? Nada más. Vamos con uno: logaritmo en base tres de ochenta y uno. Me pregunto a qué elevo el tres. Y voy probando, que vale perfectamente: tres a la uno es tres, poco. Tres al cuadrado es nueve, poco. Tres al cubo es veintisiete, todavía poco. Tres a la cuarta son ochenta y uno. Ahí está. Así que el logaritmo en base tres de ochenta y uno es cuatro. Y esto vale para todos: siempre se busca el exponente.
Base 10: contar ceros
Ahora, una cosa que confunde mucho al principio. A veces vas a ver escrito "log" a secas, sin ningún numerito de base. Eso no es un error ni una abreviatura rara: cuando no se escribe base, la base es diez, y a ese se le llama logaritmo común. Así que log de mil, sin base, significa logaritmo en base diez de mil. ¿A qué elevo diez para que me dé mil? Diez al cubo es mil, así que la respuesta es tres. Y aquí hay un atajo que vale oro: con las potencias de diez, el logaritmo es simplemente el número de ceros. Log de mil, tres ceros, tres. Log de un millón, seis ceros, seis. No hace falta probar nada.
log 1 = 0 y otros casos
Y ahora dos casos que aparecen en todos los exámenes y que asustan sin motivo. El primero: el logaritmo de uno siempre vale cero, en cualquier base. ¿Por qué? Porque un logaritmo pide el exponente, y ya sabes que cualquier número elevado a cero da uno. Así que el exponente que buscas es el cero. El segundo: el logaritmo de la propia base vale uno. Logaritmo en base cinco de cinco es uno, porque cinco elevado a uno es cinco. Y una advertencia: no existe el logaritmo de cero ni el de un número negativo. Ninguna potencia de un número positivo da cero ni da negativo, así que esa pregunta no tiene respuesta.
La suma multiplica
Y vamos con las propiedades, que es lo que más se busca. Son tres, y las tres salen de las leyes de las potencias, así que no hay nada nuevo que memorizar. La primera: la suma de dos logaritmos de la misma base es el logaritmo del producto. O sea que sumar logaritmos es multiplicar por dentro. ¿De dónde sale? De que al multiplicar potencias de la misma base, los exponentes se suman. Vamos a verlo con números. Logaritmo en base dos de cuatro, más logaritmo en base dos de ocho. Por un lado: cuatro es dos al cuadrado, así que el primero vale dos; y ocho es dos al cubo, así que el segundo vale tres. Dos más tres, cinco. Y por el otro lado: cuatro por ocho son treinta y dos, que es dos a la quinta. También cinco. Cuadra.
La resta divide y el exponente baja
La segunda propiedad es la misma idea al revés: la resta de dos logaritmos es el logaritmo del cociente. Restar logaritmos es dividir por dentro, y sale de que al dividir potencias los exponentes se restan. Y la tercera, que es la que más se usa en los exámenes: el logaritmo de una potencia es el exponente multiplicando por fuera. O sea, el exponente baja. Logaritmo en base dos de ocho a la cuarta es cuatro por logaritmo en base dos de ocho, que es cuatro por tres, doce. Así que las tres, juntas: la suma multiplica por dentro, la resta divide por dentro, y el exponente baja a multiplicar.
El error más caro
Y ahora el error que hay que quitarse de encima, porque es el que más caro sale. Mucha gente, al ver la primera propiedad, se queda con la idea equivocada y escribe que el logaritmo de una suma es la suma de los logaritmos. Y eso es falso. La propiedad habla de la SUMA DE DOS LOGARITMOS, que se convierte en el logaritmo de un producto. No dice nada de lo que pasa cuando la suma está dentro. El logaritmo de a más b no se puede partir. Si alguna vez dudas, el remedio es el mismo de siempre: escribe las cosas como potencias y mira qué pasa.
Ejercicio 1, paso a paso
Vamos con el primer ejercicio, y lo resolvemos juntos antes de tocar nada. Logaritmo en base dos de treinta y dos. Nos hacemos la pregunta de siempre: ¿a qué tengo que elevar el dos para que me dé treinta y dos? Y probamos, sin prisa: dos al cuadrado son cuatro, poco. Dos al cubo, ocho, poco. Dos a la cuarta, dieciséis, poco. Dos a la quinta, treinta y dos. Ahí está. Así que la respuesta es cinco. Y mira la trampa del treinta y dos: treinta y dos es el número que está DENTRO del logaritmo, no lo que vale el logaritmo. Confundir el de dentro con el resultado es el error más repetido del tema. Marco el cinco.
Practica gratis
Y quiero que mires bien esto que tienes ahora aquí a la derecha, porque es nuestro y es gratis. Es una página de ejercicios: tutoriolab.com, barra ejercicios, barra logaritmos. Te salen los tres casos del video: resolver uno normal, uno de base diez y uno con la propiedad de la suma, con números distintos cada vez. Y lo que de verdad importa: cuando te equivocas no te suelta un "incorrecto" y te deja igual que estabas. Te dice qué error has cometido, con su nombre.
Ejercicio 2, paso a paso
Segundo y último ejercicio, y es el de la propiedad. Logaritmo en base dos de cuatro, más logaritmo en base dos de ocho. Lo primero que hay que mirar es si los dos tienen la misma base, porque si no, no se pueden juntar. Aquí los dos son base dos, así que sí. Aplicamos la primera propiedad: la suma de logaritmos es el logaritmo del producto. Cuatro por ocho, treinta y dos. Así que esto es logaritmo en base dos de treinta y dos, y eso ya lo hemos hecho: es cinco. Y mira la trampa del treinta y dos, otra vez: el treinta y dos es lo de dentro, y falta el paso de resolver el logaritmo. También podías haberlo hecho por separado: el primero vale dos, el segundo vale tres, dos más tres cinco. El mismo resultado.
Lo que hay que llevarse
Repasamos lo que hay que llevarse. Uno: un logaritmo pide el exponente, así que la pregunta siempre es "a qué elevo la base". Dos: si no hay base escrita, la base es diez, y con potencias de diez basta con contar los ceros. Tres: las propiedades, que salen todas de las potencias: la suma de logaritmos multiplica por dentro, la resta divide por dentro, y un exponente de dentro baja a multiplicar por fuera. Y cuatro, el salvavidas: si te pierdes en cualquier momento, escribe el logaritmo como una potencia y se aclara solo. Practícalo en tutoriolab.com, barra ejercicios, barra logaritmos.
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Dudas frecuentes
¿Qué es un logaritmo?
Es la pregunta al revés de una potencia. En 2³ = 8 te dan base y exponente y pides el resultado; el logaritmo te da base y resultado y te pide el exponente: log₂8 = 3. Resolver cualquier logaritmo es contestar "¿a qué elevo la base para que dé el número de dentro?".
¿Qué significa log sin base escrita?
Base 10, y se llama logaritmo común. log 1000 es log en base 10 de 1000, o sea 3, porque 10³ = 1000. Con potencias de 10 el logaritmo es directamente el número de ceros.
¿Cuáles son las propiedades de los logaritmos?
Tres, y las tres salen de las leyes de las potencias: log a + log b = log(a·b) (sumar logaritmos multiplica por dentro), log a − log b = log(a÷b) (restar divide por dentro) y log(aⁿ) = n · log a (el exponente baja a multiplicar).
¿log(a + b) es igual a log a + log b?
No, y es el error más caro del tema. La propiedad dice que la SUMA DE DOS LOGARITMOS es el logaritmo de un producto; no dice nada de una suma metida dentro. El logaritmo de una suma no se puede partir.
¿Por qué el logaritmo de 1 vale 0?
Porque un logaritmo pide el exponente, y cualquier número elevado a 0 da 1. Así que el exponente que buscas es 0, en cualquier base. Por lo mismo, el logaritmo de la propia base vale 1.
¿Hay ejercicios para practicar?
Sí, y son gratis: tutoriolab.com/ejercicios/logaritmos. Salen los tres casos del video —resolver uno normal, uno de base 10 y uno con la propiedad de la suma— con números nuevos cada vez, y cuando fallas te dice qué error has cometido.
