MCM y MCD: cuál te están pidiendo
El máximo común divisor es el número más grande que cabe exacto en los dos; el mínimo común múltiplo es el más pequeño que contiene a los dos. Con 12 y 18: MCD 6 y MCM 36. Con factores primos (12 = 2²·3 y 18 = 2·3²), el MCD coge los factores comunes con el exponente menor y el MCM coge todos con el mayor, y salen los mismos 6 y 36. Comprobación: MCD × MCM = los dos números multiplicados (6 × 36 = 12 × 18 = 216). Para saber cuál pide un problema: si la respuesta tiene que ser más grande, es el MCM; si más pequeña, el MCD.
MCM y MCD. Y sobre todo, cuál de los dos te están pidiendo.
Ejercicio 1: el MCD de 12 y 18
Empezamos por un ejercicio, no por la teoría. A la derecha tienes la herramienta con la que vamos a trabajar todo el video, y nos pide el máximo común divisor de doce y dieciocho. Vamos por partes, y empecemos por la palabra del medio. Un divisor de un número es otro número que cabe en él exacto, sin que sobre nada. El cuatro es divisor de doce, porque tres veces cuatro son doce, justo. El cinco no lo es, porque dos veces cinco son diez y tres veces cinco son quince: se queda corto o se pasa. Así que los divisores de doce son estos seis: uno, dos, tres, cuatro, seis y doce. Y los de dieciocho son estos: uno, dos, tres, seis, nueve y dieciocho. Fíjate en que el cuatro no está aquí, porque cuatro no cabe exacto en dieciocho. Ahora la palabra común, que quiere decir que está en las dos listas. Mira: el uno está en las dos. El dos, también. El tres, también. Y el seis, también. El cuatro no, porque solo está arriba. El nueve tampoco, porque solo está abajo. Y por último, máximo: el más grande de esos cuatro. El seis. Máximo común divisor de doce y dieciocho, seis. Y lo importante no es el seis: es que el nombre te iba diciendo qué hacer en cada paso.
Ejercicio 2: el MCM de 12 y 18
Segundo ejercicio, y presta atención porque son exactamente los mismos dos números: ahora nos piden el mínimo común múltiplo de doce y dieciocho. Otra vez por partes. Un múltiplo de un número es ese número multiplicado por algo: por uno, por dos, por tres, por lo que sea. Los múltiplos de doce son doce, veinticuatro, treinta y seis, cuarenta y ocho, y siguen para siempre. Los de dieciocho son dieciocho, treinta y seis, cincuenta y cuatro, y también siguen para siempre. Común, igual que antes: el que esté en las dos listas. Y ahí está el treinta y seis, que aparece arriba y aparece abajo. Y mínimo quiere decir el más pequeño de los comunes. Si siguiéramos escribiendo encontraríamos el setenta y dos, que también está en las dos, y el ciento ocho; pero el primero que aparece es el treinta y seis. Ahora para un segundo y mira lo que acaba de pasar. Los mismos dos números. Dos preguntas distintas. Seis y treinta y seis. Y hay un motivo para que uno sea pequeño y el otro grande: el divisor tiene que caber dentro de ellos, así que no puede pasarse. El múltiplo tiene que contenerlos a ellos, así que no puede quedarse corto. Si te llevas una sola idea del video, que sea esta.
Practícalo tú
Y un momento antes de seguir. Esa herramienta que estás viendo a la derecha es nuestra y es gratis: tutoriolab.com, barra ejercicios, barra m, c, m, m, c, d. Úsala. No hay ninguna forma de que esto se te quede mejor que practicándolo, porque leerlo se olvida y hacerlo no. Y cada vez que entres te salen ejercicios distintos.
Por qué contar no sirve siempre
Con doce y dieciocho, contar funciona. Prueba a hacerlo con ochenta y cuatro y ciento veintiséis y vas a ver el problema: escribir todos los divisores de los dos te lleva un buen rato, y basta que te saltes uno para que el resultado salga mal sin que te enteres. Hace falta un método que no dependa de escribir listas enteras. Y lo hay, pero antes hay que aprender a partir los números.
Partir los números
Partir un número en factores primos suena mucho peor de lo que es: es escribirlo como una multiplicación de números que ya no se pueden partir más. Vamos con el doce. ¿Se puede dividir entre dos? Sí: seis. ¿Y el seis entre dos? Sí: tres. ¿Y el tres? Ya no, porque el tres solo se puede dividir entre uno y entre sí mismo. Así que doce es dos, por dos, por tres. Y cuando un número se repite se escribe corto, con un numerito arriba que se llama exponente: dos al cuadrado, por tres. Ese dos pequeño de arriba no es otro dos que multiplica: es la cuenta de cuántas veces está el dos. Vamos ahora con el dieciocho. Dieciocho entre dos, nueve. El nueve ya no se puede dividir entre dos, pero sí entre tres: da tres. Y tres entre tres, uno. O sea que dieciocho es dos, por tres, por tres: dos, por tres al cuadrado. Aquí el que se repite es el tres. Y esto es lo bonito del asunto: cada número se parte de una sola forma posible, no hay dos maneras. Por eso esa descomposición es su huella.
La regla del MCD
Con las dos huellas delante, el máximo común divisor sale en dos pasos. Paso uno: se cogen solo los factores que están en las dos. El dos está en las dos. El tres está en las dos. Paso dos: de cada uno, el exponente más pequeño. El dos está al cuadrado en el doce y está solo en el dieciocho, así que me quedo con el pequeño: un dos. El tres está solo en el doce y al cuadrado en el dieciocho, así que me quedo con el pequeño otra vez: un tres. Dos por tres, seis. Y mira bien ese seis: es exactamente el mismo que nos salió hace dos minutos contando divisores a mano. El método rápido y el lento dan lo mismo, y por eso puedes fiarte de él. Y el porqué del exponente pequeño es este: el máximo común divisor tiene que caber dentro de los dos números. Si cogiera dos al cuadrado, no cabría en el dieciocho, que solo tiene un dos. No puedes gastar más de lo que tiene el más pobre.
La regla del MCM
El mínimo común múltiplo es la misma regla del revés. Paso uno: se cogen todos los factores, estén en las dos huellas o en una sola. Paso dos: de cada uno, el exponente más grande. El dos está al cuadrado en el doce y solo en el dieciocho: me quedo con el cuadrado. El tres está solo en el doce y al cuadrado en el dieciocho: me quedo con el cuadrado. Dos al cuadrado por tres al cuadrado: cuatro por nueve, treinta y seis. Y otra vez lo mismo: treinta y seis es exactamente lo que nos salió escribiendo múltiplos a mano. Y el porqué del exponente grande: el múltiplo tiene que contener a los dos números enteros. Si cogiera solo un tres, el dieciocho no cabría dentro, porque el dieciocho necesita dos treses para existir. Ahí está toda la diferencia entre las dos reglas: en el divisor manda el pobre, en el múltiplo manda el rico.
La comprobación
Y hay una comprobación preciosa que casi nadie enseña. El máximo común divisor multiplicado por el mínimo común múltiplo tiene que dar exactamente lo mismo que multiplicar los dos números de partida. Vamos a la calculadora y lo vemos con los nuestros. Primero el seis por el treinta y seis, que son el divisor y el múltiplo que acabamos de sacar con los factores primos. Y sale doscientos dieciséis. Ahora los dos números de partida, el doce y el dieciocho, multiplicados el uno por el otro, a ver qué da. Y sale doscientos dieciséis otra vez. Cuadra. Y no es casualidad: entre los dos se reparten exactamente los mismos factores, uno se queda con los exponentes pequeños y el otro con los grandes, así que al multiplicarlos vuelve a salir todo. Si esos dos números no te dieran igual, uno de los dos que has calculado está mal, y lo sabes antes de entregar nada.
Ejercicio 3: el MCD de 24 y 36
Tercer ejercicio, con otros números y ya con el método rápido, para que veas que sabes hacerlo. Nos piden el máximo común divisor de veinticuatro y treinta y seis. Primero las huellas. Veinticuatro: entre dos, doce; entre dos, seis; entre dos, tres. Tres doses y un tres: dos al cubo por tres. Treinta y seis: entre dos, dieciocho; entre dos, nueve; el nueve entre tres, tres; y tres entre tres, uno. Dos al cuadrado por tres al cuadrado. Y ahora la regla del divisor: solo los comunes, con el exponente más pequeño. El dos está al cubo y al cuadrado: me quedo con el cuadrado. El tres está solo y al cuadrado: me quedo con el solo. Dos al cuadrado por tres, cuatro por tres, doce. Y compruébalo con la cabeza, que se hace en un segundo: doce cabe en veinticuatro dos veces justas, y en treinta y seis, tres veces justas. Y ningún número más grande que doce lo consigue.
Cuál te están pidiendo
Y ahora lo que de verdad cuesta, que no es calcular. Es leer un problema y saber cuál de los dos te está pidiendo, porque el enunciado nunca lo dice con esas palabras. La regla es corta. Si hay algo que se repite y tienes que esperar a que las cosas coincidan, es el mínimo común múltiplo: autobuses que pasan, luces que parpadean, vueltas a una pista. Si hay algo que se parte en trozos iguales y lo más grandes posible, es el máximo común divisor: cortar una cinta, repartir en bolsas, formar grupos. Y hay un truco para comprobarlo sin acordarte de la regla: pregúntate si la respuesta tiene que salir más grande o más pequeña que los números del problema. Si tiene que ser más grande, es múltiplo. Si tiene que ser más pequeña, es divisor.
Ejercicio 4: el error más común
Cuarto y último, y lo voy a hacer mal a propósito. Un autobús pasa cada doce minutos y otro cada dieciocho, y acaban de coincidir en la parada. ¿Cuándo vuelven a coincidir? Se repiten y estamos esperando a que se junten, así que es el mínimo común múltiplo. Y por el truco de antes: la respuesta tiene que ser más grande que dieciocho, porque tenemos que esperar. Ahora, el error más común de todos: multiplicarlos. Doce por dieciocho, doscientos dieciséis. Lo elijo. Y mira lo que contesta: que doscientos dieciséis sí es múltiplo de los dos, pero que no es el mínimo, porque coinciden mucho antes. No me dice incorrecto y me deja igual que estaba: me dice qué he hecho mal. La respuesta es treinta y seis, que ya la teníamos calculada. Y compruébalo: treinta y seis entre doce son tres viajes enteros del primero, y treinta y seis entre dieciocho son dos viajes enteros del segundo. Los dos llegan justos, sin decimales. Eso es coincidir.
Repaso
Repasamos. Divisor: cabe dentro, y el máximo común divisor es el más grande que cabe en los dos. Múltiplo: los contiene, y el mínimo común múltiplo es el más pequeño que los contiene a los dos. Con factores primos, el divisor coge los comunes con el exponente pequeño y el múltiplo los coge todos con el grande. Y para saber cuál te piden, pregúntate si la respuesta sale más grande o más pequeña. Practícalo en tutoriolab.com, barra ejercicios, barra m, c, m, m, c, d: salen distintos cada vez y te dicen qué error cometiste.
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Dudas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre el MCM y el MCD?
El MCD es el número más grande que cabe exacto dentro de los dos; el MCM es el más pequeño que los contiene a los dos. Con 12 y 18, el MCD es 6 y el MCM es 36: mismos números, preguntas distintas.
¿Cómo sé cuál me piden en un problema?
Pregúntate si la respuesta tiene que salir más grande o más pequeña que los números del enunciado. Más grande, es el MCM (algo que se repite y hay que esperar a que coincida). Más pequeña, es el MCD (algo que se parte en trozos iguales).
¿Por qué en el MCD se coge el exponente menor?
Porque el MCD tiene que caber dentro de los dos números. En 12 = 2²·3 y 18 = 2·3², si cogieras 2² no cabría en el 18, que solo tiene un 2. No puedes gastar más de lo que tiene el más pobre.
¿Cómo compruebo que no me he equivocado?
MCD × MCM tiene que dar lo mismo que multiplicar los dos números originales. Con 12 y 18: 6 × 36 = 216 y 12 × 18 = 216. Si no coinciden, uno de los dos está mal.
¿Y si me sale que el MCD es 1?
No es un error: significa que los dos números no comparten ningún factor, como 9 y 10. En ese caso el MCM es simplemente multiplicarlos: 90.
¿Hay ejercicios para practicar?
Sí, y son gratis: tutoriolab.com/ejercicios/mcm-mcd. Salen ejercicios nuevos cada vez, y cuando fallas no te dice "incorrecto": te dice qué error has cometido y te enseña la cuenta hecha.
