Leyes de los exponentes, de cero

Las tres propiedades de las potencias con la misma base salen todas de contar factores. Al MULTIPLICAR se suman los exponentes (2³ × 2⁴ = 2⁷, porque hay 3 + 4 = 7 doses). Al DIVIDIR se restan, de arriba menos abajo (3⁵ ÷ 3² = 3³, porque se tachan dos treses). Y en una POTENCIA DE OTRA POTENCIA se multiplican ((2³)⁴ = 2¹², porque es 2³ repetido 4 veces y 3+3+3+3 = 3×4). Además: cualquier número elevado a 0 da 1, un exponente negativo significa dividir (2⁻³ = 1/8), y en base 10 el exponente es el número de ceros (10⁶ = un millón). Si dudas de qué ley toca, desarrolla y cuenta.

Las leyes de los exponentes, de cero y sin memorizar nada.

Qué es una potencia

Vamos a empezar por lo más básico, porque no quiero dar nada por sabido. Una potencia es una forma corta de escribir una multiplicación de un número por sí mismo. Dos elevado a tres significa dos por dos por dos, que son ocho. Ese dos grande de abajo se llama base, y es el número que se repite. Y el tres pequeño de arriba se llama exponente, y dice cuántas veces se repite. Y ahora el error más común de todo el tema, que quiero quitarte de encima ya: dos elevado a tres no es dos por tres. No son seis. Son ocho. El exponente no multiplica a la base: cuenta.

Multiplicar: se suman

Y vamos con la primera ley, la de multiplicar dos potencias que tienen la misma base. Voy a desarrollarla para que veas de dónde sale y no tengas que memorizarla. Tenemos dos al cubo por dos a la cuarta. Dos al cubo es dos por dos por dos. Y dos a la cuarta es dos por dos por dos por dos. Si lo escribimos todo seguido, lo que tenemos es una multiplicación de doses. ¿Cuántos doses hay en total? Tres del primero y cuatro del segundo: siete. Así que el resultado es dos elevado a siete. Y ahí está la ley: cuando se multiplican potencias de la misma base, los exponentes se suman. Tres más cuatro, siete. Y lo puedes comprobar con números: ocho por dieciséis son ciento veintiocho, que es dos a la séptima.

Dividir: se restan

Segunda ley, la de dividir, y sale del mismo sitio. Tenemos tres a la quinta dividido entre tres al cuadrado. Lo desarrollamos igual: arriba hay cinco treses multiplicándose, y abajo hay dos treses. Y cuando tienes el mismo número arriba y abajo en una fracción, se tacha, porque tres dividido entre tres es uno. Tachamos dos treses de arriba con los dos de abajo. ¿Cuántos treses quedan arriba? Cinco menos dos, tres. Así que el resultado es tres al cubo. Y ahí está la segunda ley: cuando se dividen potencias de la misma base, los exponentes se restan. Y ojo con el orden, que es el de arriba menos el de abajo, nunca al revés.

Potencia de potencia: se multiplican

Y la tercera, que es la que más se confunde: una potencia elevada a otra potencia. Dos al cubo, todo ello elevado a la cuarta. Lo que dice ese cuatro de fuera es que hay que repetir cuatro veces lo que hay dentro del paréntesis. O sea: dos al cubo, por dos al cubo, por dos al cubo, por dos al cubo. Cuatro veces. Y eso ya lo sabemos resolver con la primera ley, porque son potencias de la misma base multiplicándose: se suman los exponentes. Tres más tres más tres más tres. Y sumar cuatro veces el tres es lo mismo que multiplicar tres por cuatro: doce. Por eso, en una potencia de una potencia, los exponentes se multiplican.

Las tres juntas

Y ahora quiero que las veas las tres juntas, porque separadas parecen tres reglas caprichosas que hay que memorizar, y juntas se ve que son la misma idea. Multiplicar potencias de igual base: los exponentes se suman. Dividirlas: se restan. Y una potencia elevada a otra: se multiplican. Suma, resta, multiplicación. Confundir cuál va con cuál es, de largo, el error más común del tema, y por eso te las enseño una al lado de la otra. Y si algún día dudas, no intentes acordarte: desarrolla la potencia en factores y cuenta cuántos hay. La ley sale sola.

Ejercicio 1, paso a paso

Vamos con el primer ejercicio, y lo resolvemos juntos antes de tocar nada. Dos al cubo por dos a la cuarta, y nos piden el exponente si lo dejamos como una sola potencia. Primero miramos la base: las dos son dos, o sea la misma base, que es lo que hace falta para poder aplicar la ley. Y la operación es una multiplicación, así que toca sumar los exponentes. Tres más cuatro, siete. La respuesta es siete. Y lo comprobamos con números por si acaso: dos al cubo son ocho, dos a la cuarta son dieciséis, ocho por dieciséis son ciento veintiocho, y dos a la séptima también son ciento veintiocho. Cuadra. Y mira la trampa del doce: el doce sale de multiplicar tres por cuatro, que es la ley del paréntesis, no la de multiplicar dos potencias. Marco el siete.

Practica gratis

Y quiero que mires bien esto que tienes ahora aquí a la derecha, porque es nuestro y es gratis. Es una página de ejercicios: tutoriolab.com, barra ejercicios, barra potencias y exponentes. Cada vez que entras te salen potencias distintas, así que puedes practicar todas las veces que quieras sin repetir. Y lo que de verdad importa: cuando te equivocas no te suelta un "incorrecto" y te deja igual que estabas. Te dice qué error has cometido, con su nombre, y te enseña la cuenta hecha.

Ejercicio 2, paso a paso

Segundo y último ejercicio, y es justo el otro caso para que veas la diferencia. Dos al cubo, entre paréntesis, elevado a la cuarta. Aquí no hay dos potencias multiplicándose: hay una potencia dentro de un paréntesis y otro exponente fuera. Así que la ley que toca es la tercera: los exponentes se multiplican. Tres por cuatro, doce. La respuesta es doce. Y lo comprobamos: dos al cubo son ocho, y ocho elevado a la cuarta son cuatro mil noventa y seis; dos elevado a doce también son cuatro mil noventa y seis. Cuadra. Y aquí la trampa es el siete, que es el resultado del ejercicio anterior: sale de sumar en vez de multiplicar. Ese es exactamente el error que quería que vieras, con los dos ejercicios uno detrás de otro.

Exponente cero y negativo

Y quedan dos casos que aparecen mucho y que suelen dar miedo sin motivo. El primero: cualquier número elevado a cero da uno. No cero: uno. Y tiene una explicación muy sencilla con lo que acabamos de aprender. Coge dos al cubo dividido entre dos al cubo. Por la ley de dividir, los exponentes se restan: tres menos tres, cero. Así que da dos elevado a cero. Pero por otro lado, ocho dividido entre ocho es uno, evidentemente. Los dos caminos tienen que dar lo mismo, así que dos elevado a cero es uno. El segundo caso: un exponente negativo no quiere decir que el resultado sea negativo. Quiere decir que está dividiendo. Dos elevado a menos tres es uno dividido entre dos al cubo, o sea uno entre ocho.

Potencias de base 10

Y un último atajo que vale la pena, porque se usa constantemente: las potencias de base diez. Diez al cubo es diez por diez por diez, mil. Y fíjate en lo que pasa: el exponente te dice exactamente cuántos ceros lleva el número. Diez a la tres, tres ceros: mil. Diez a la seis, seis ceros: un millón. Por eso verás escritas las cantidades grandes así, con potencias de diez, en vez de contar ceros a ojo.

Las tres leyes

Repasamos las tres leyes, que es lo que tienes que llevarte. Cuando multiplicas potencias de la misma base, los exponentes se suman. Cuando las divides, se restan, y siempre el de arriba menos el de abajo. Y cuando hay una potencia elevada a otra potencia, se multiplican. Y la cuarta, que no es una ley sino un salvavidas: si alguna vez dudas de cuál toca, desarrolla la potencia en factores y cuenta cuántos hay. Nunca falla. Practícalo en tutoriolab.com, barra ejercicios, barra potencias y exponentes.

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