Dezimalzahlen: addieren und multiplizieren
Dezimalzahlen zu addieren und zu multiplizieren folgt GEGENSÄTZLICHEN Regeln, und sie zu verwechseln ist der häufigste Fehler. Zum ADDIEREN: die Kommas untereinander stellen, mit Nullen auffüllen, damit beide gleich viele Nachkommastellen haben, und Spalte für Spalte addieren (12,45 + 3,80 = 16,25). Zum MULTIPLIZIEREN: gar nichts untereinander stellen. Multiplizieren, als gäbe es keine Kommas (24 × 15 = 360), und danach zählen, wie viele Nachkommastellen die beiden Ausgangszahlen zusammen hatten; um so viele Stellen wandert das Komma von rechts (1 + 1 = 2, also 3,60). Zum Multiplizieren mit 10, 100 oder 1000 die Nullen zählen und das Komma um so viele Stellen nach rechts verschieben, bei Bedarf mit Nullen auffüllen (3,7 × 100 = 370). Und Nullen am Ende einer Dezimalzahl ändern ihren Wert nie.
Dezimalzahlen: sie addieren und multiplizieren, ohne etwas zu überspringen.
Was eine Dezimalzahl ist
Fangen wir ganz vorne an, denn ich möchte nichts voraussetzen. Eine Dezimalzahl ist eine Zahl, die ein Komma hat, und dieses Komma trennt zwei Dinge: links stehen die ganzen, die vollständigen Einheiten, und rechts steht das, was übrig bleibt, der Teil, der keine ganze Einheit ergibt. Zum Beispiel ist drei Komma sieben fünf drei ganze Einheiten und fünfundsiebzig Hundertstel mehr. Und eines soll von Anfang an klar sein, denn es ist das häufigste Missverständnis: das sind nicht zwei aneinandergeklebte Zahlen. Es ist eine einzige Zahl, ein bisschen mehr wert als drei und ein bisschen weniger als vier.
Was jede Stelle wert ist
Und jetzt das, was man wirklich verstehen muss, denn alles andere kommt von hier: jede Stelle nach dem Komma ist etwas anderes wert. Die erste Ziffer nach dem Komma sind die Zehntel, also Teile von zehn. Die zweite sind die Hundertstel, Teile von hundert. Und die dritte sind die Tausendstel, Teile von tausend. Deshalb sind null Komma fünf und null Komma null fünf nicht gleich viel wert, obwohl beide eine Fünf haben: bei der ersten sind die fünf fünf Zehntel, und bei der zweiten sind es fünf Hundertstel, also zehnmal weniger. Und daraus folgt etwas, das wir viel benutzen werden: Nullen am Ende anzuhängen, nach der letzten Ziffer, ändert die Zahl nicht. Drei Komma acht ist genau dasselbe wie drei Komma achtzig.
Addieren: Kommas untereinander
Wir beginnen mit dem Addieren, wonach am meisten gesucht wird. Und die Regel ist eine einzige, ganz kurze: beim Addieren von Dezimalzahlen stellt man die Kommas untereinander. Du schreibst die beiden Zahlen so untereinander, dass das obere Komma genau über dem unteren Komma steht. Und warum? Wegen dem, was wir gerade gesehen haben: weil so die Einer zu den Einern kommen, die Zehntel zu den Zehnteln und die Hundertstel zu den Hundertsteln. Wenn du sie nicht untereinander stellst, addierst du am Ende Zehntel zu Hundertsteln, und das ist, als würdest du Euro zu Cent addieren, ohne es zu merken.
Die Addition, Schritt für Schritt
Machen wir das Beispiel: zwölf Komma vier fünf plus drei Komma acht. Als Erstes, und das hilft sehr, gleicht man die Anzahl der Nachkommastellen an. Die erste hat zwei und die zweite hat eine, wir hängen der zweiten also eine Null an: drei Komma achtzig. Und wir wissen schon, dass das ihren Wert nicht ändert. Jetzt schreiben wir sie untereinander, mit den Kommas untereinander, und addieren Spalte für Spalte, von rechts beginnend, genau wie bei einer ganz normalen Addition. Fünf plus null, fünf. Vier plus acht, zwölf: ich schreibe zwei hin und behalte eins im Sinn. Jetzt die Einer: zwei plus drei ist fünf, plus die eins, die ich im Sinn hatte, sechs. Und die eins von den Zehnern kommt herunter. Sechzehn Komma zwei fünf. Und das Komma kommt an seinen Platz herunter, in dieselbe Spalte.
Übung 1, Schritt für Schritt
Machen wir die erste Übung, und wir machen sie gemeinsam an der Tafel, bevor wir irgendetwas anfassen. Es ist dieselbe Addition: zwölf Komma vier fünf plus drei Komma acht. Zuerst gleichen wir die Nachkommastellen an: aus drei Komma acht wird drei Komma achtzig. Wir schreiben sie in eine Spalte, mit den Kommas untereinander. Wir addieren von rechts nach links: fünf plus null, fünf. Vier plus acht, zwölf, ich schreibe die zwei hin und behalte eins im Sinn. Zwei plus drei, fünf, plus die eins im Sinn, sechs. Und die eins kommt herunter. Sechzehn Komma zwei fünf. Und sieh dir die Falle zwölf Komma acht drei an, die die beste von allen ist: sie kommt davon, die Kommas nicht untereinander zu stellen, die acht mit der vier zu addieren, als wäre die acht Hundertstel. Ich markiere sechzehn Komma zwei fünf.
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Multiplizieren: die Gegenregel
Jetzt das Multiplizieren, und hier kommt der Teil, der am meisten verwirrt, also pass auf: die Regel ist das Gegenteil der Additionsregel. Beim Multiplizieren von Dezimalzahlen stellt man die Kommas NICHT untereinander. Man stellt sie nicht untereinander. Was man macht, ist, die beiden Zahlen zu multiplizieren, als gäbe es die Kommas nicht, als wären es ganz gewöhnliche ganze Zahlen. Und wenn man das Ergebnis schon hat, dann, und erst dann, zählt man, wie viele Nachkommastellen die beiden Ausgangszahlen zusammen hatten, und setzt das Komma. Diese zwei gegensätzlichen Regeln sind Fehler Nummer eins in diesem Thema: addiert wird untereinander, multipliziert wird mit Zählen.
Die Multiplikation, Schritt für Schritt
Machen wir das Beispiel: zwei Komma vier mal eins Komma fünf. Schritt eins, wir nehmen die Kommas aus dem Kopf und multiplizieren vierundzwanzig mit fünfzehn. Vierundzwanzig mal fünf ist hundertzwanzig. Vierundzwanzig mal zehn ist zweihundertvierzig. Zusammen dreihundertsechzig. Schritt zwei, wir zählen die Nachkommastellen der Ausgangszahlen: zwei Komma vier hat eine und eins Komma fünf hat auch eine. Eins plus eins, zwei. Im Ergebnis steht das Komma also zwei Stellen von rechts gezählt. Dreihundertsechzig mit dem Komma zwei Stellen weiter links ist drei Komma sechzig. Und das ist das Ergebnis: drei Komma sechs.
Übung 2, Schritt für Schritt
Zweite und letzte Übung, und es ist dieselbe Multiplikation: zwei Komma vier mal eins Komma fünf. Ich wiederhole den ganzen Weg, damit er sitzt. Schritt eins: Kommas weg, vierundzwanzig mal fünfzehn, das sind dreihundertsechzig. Schritt zwei: ich zähle die Nachkommastellen, eine in jeder Zahl, zwei insgesamt. Schritt drei: ich setze das Komma zwei Stellen von rechts in die dreihundertsechzig, und mir bleibt drei Komma sechzig. Und jetzt sieh dir die Falle sechsunddreißig Komma null an, denn sie ist sehr gut: diese Zahl kommt davon, eine einzige Nachkommastelle gezählt zu haben statt zwei. Das Ergebnis ist dieselbe dreihundertsechzig; das Einzige, was sich ändert, ist, wo du das Komma gesetzt hast, und darin steckt die ganze Übung. Deshalb ist das Zählen der Nachkommastellen keine Kleinigkeit: es ist der Schritt, der das Ergebnis entscheidet.
Die Abkürzung mit 10 und 100
Und jetzt eine Abkürzung, nach der sehr viel gesucht wird und die man im Kopf haben sollte: das Multiplizieren mit zehn, mit hundert oder mit tausend. Dafür musst du gar nichts multiplizieren. Du musst nur die Nullen zählen, die die zehn, die hundert oder die tausend hat, und das Komma um so viele Stellen nach rechts verschieben. Nach rechts, und das ist das, was man sich merken muss, denn Multiplizieren macht die Zahl größer.
Das Komma verschieben
Sehen wir es uns an. Drei Komma sieben mal zehn. Die zehn hat eine Null, das Komma wandert also eine Stelle nach rechts: siebenunddreißig. Jetzt drei Komma sieben mal hundert. Die hundert hat zwei Nullen, das Komma wandert also zwei Stellen. Aber Achtung, nach der sieben stehen keine Ziffern mehr: wenn das passiert, füllt man mit Nullen auf. Aus drei Komma sieben wird dreihundertsiebzig. Und beim Dividieren ist es genau dasselbe, nur andersherum: das Komma wandert nach links, denn Dividieren macht die Zahl kleiner.
Die zwei Regeln
Gehen wir es durch, und das Wichtige ist, die ersten beiden nicht zu verwechseln, denn sie sind gegensätzlich. Erstens: zum Addieren oder Subtrahieren die Kommas untereinander stellen, eines unter dem anderen, und bei Bedarf mit Nullen auffüllen. Zweitens: zum Multiplizieren gar nichts untereinander stellen; multiplizieren, als gäbe es keine Kommas, und danach zählen, wie viele Nachkommastellen es insgesamt gab. Drittens: zum Multiplizieren mit zehn, hundert oder tausend die Nullen zählen und das Komma nach rechts verschieben. Und viertens, was bei allem davor hilft: Nullen am Ende einer Dezimalzahl anzuhängen ändert ihren Wert nicht. Übe es auf tutoriolab.com, schrägstrich d e, schrägstrich uebungen, schrägstrich dezimalzahlen.
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Häufige Fragen
Wie addiert man Dezimalzahlen?
Die Kommas untereinander stellen, mit Nullen auffüllen, damit beide gleich viele Nachkommastellen haben, und wie gewohnt Spalte für Spalte von rechts addieren. Das Komma kommt in derselben Spalte herunter: 12,45 + 3,80 = 16,25.
Stellt man beim Multiplizieren die Kommas untereinander?
Nein, und das ist genau das Gegenteil vom Addieren. Man multipliziert, als gäbe es keine Kommas, und erst am Ende zählt man, wie viele Nachkommastellen die Ausgangszahlen zusammen hatten, und verschiebt das Komma um so viele Stellen von rechts.
Wie viele Nachkommastellen hat das Ergebnis einer Multiplikation?
So viele, wie die beiden Ausgangszahlen zusammen haben. 2,4 hat eine und 1,5 hat eine, das Ergebnis hat also zwei: aus 24 × 15 = 360 wird 3,60. Eine statt zwei zu zählen ergibt 36,0, und das ist die häufigste Falle.
Wie multipliziert man eine Dezimalzahl mit 10, 100 oder 1000?
Die Nullen zählen und das Komma um so viele Stellen nach rechts verschieben, denn Multiplizieren macht die Zahl größer. 3,7 × 10 = 37 und 3,7 × 100 = 370, wobei man mit Nullen auffüllt, wenn die Ziffern ausgehen. Beim Dividieren wandert das Komma nach links.
Ist 0,5 dasselbe wie 0,05?
Nein. Die erste Ziffer nach dem Komma sind Zehntel und die zweite Hundertstel, 0,5 ist also zehnmal größer als 0,05, obwohl beide eine Fünf haben. Was nichts ändert, ist, Nullen am ENDE anzuhängen: 3,8 = 3,80 = 3,800.
Gibt es Übungen zum Trainieren?
Ja, und sie sind kostenlos: tutoriolab.com/de/uebungen/dezimalzahlen. Du bekommst jedes Mal neue Zahlen — Addieren, Multiplizieren und die Abkürzung mit 10, 100 und 1000 — und wenn du eine falsch hast, sagt es dir, welchen Fehler du gemacht hast, und zeigt dir die ausgerechnete Rechnung.
