Raíz cuadrada a mano, sin calculadora
Sacar una raíz cuadrada a mano tiene cuatro pasos. Se parte el número en grupos de dos cifras desde la derecha (el grupo de la izquierda puede quedarse con una). La primera cifra de la raíz es el mayor número cuyo cuadrado cabe en el primer grupo, y se resta. Se baja el grupo siguiente, se dobla la raíz que se lleva y se busca la cifra d tal que el número formado con ella, multiplicado por d, quepa en el resto. Con √576: 5|76, primera cifra 2 (resto 1), doble 4, 44×4 = 176, segunda cifra 4, resto 0, raíz 24. Si el resto final no es cero la raíz no es exacta y lo que sale es la parte entera. Y todo se comprueba multiplicando la raíz por sí misma.
Raíz cuadrada a mano, sin calculadora y sin saltarme nada.
Qué es una raíz cuadrada
Vamos a empezar por lo más básico, porque no quiero dar nada por sabido. La raíz cuadrada de un número es la pregunta al revés del cuadrado. Si yo te digo que el cuadrado de cinco es veinticinco, porque cinco por cinco son veinticinco, la raíz cuadrada te pregunta lo contrario: ¿qué número multiplicado por sí mismo da veinticinco? Y la respuesta es cinco. Solo hay una cosa que sí conviene tener en la cabeza antes de seguir, y son las tablas de los cuadrados del uno al diez. Uno por uno, uno. Dos por dos, cuatro. Tres por tres, nueve. Cuatro por cuatro, dieciséis. Cinco por cinco, veinticinco.
El truco de cabeza
Y sigo: seis por seis, treinta y seis. Siete por siete, cuarenta y nueve. Ocho por ocho, sesenta y cuatro. Nueve por nueve, ochenta y uno. Y diez por diez, cien. Con solo esas diez ya puedes hacer un truco que vale muchísimo, y es saber entre qué dos números está una raíz sin calcular nada. Mira: raíz de sesenta. ¿Entre qué dos enteros está? Buscas los cuadrados que la rodean. Siete al cuadrado son cuarenta y nueve, que se queda corto. Ocho al cuadrado son sesenta y cuatro, que se pasa. Así que la raíz de sesenta está entre siete y ocho. Y eso, que parece poca cosa, es lo que te salva de dar por bueno un resultado absurdo.
Partir el número
Ahora vamos al método de verdad, el que sirve para números grandes. Lo voy a hacer con quinientos setenta y seis, paso a paso y sin saltarme ninguno. Lo primero es partir el número en grupos de dos cifras, y aquí hay dos cosas que se hacen mal continuamente. La primera: se parte de derecha a izquierda, no de izquierda a derecha. Y la segunda: al último grupo de la izquierda le puede quedar una sola cifra, y eso es normal. Quinientos setenta y seis se parte así: el cinco por un lado, y el setenta y seis por otro. Dos grupos. Y ahí va el primer dato útil: el número de grupos es el número de cifras que va a tener la raíz. Dos grupos, dos cifras.
La primera cifra
Empezamos por el grupo de la izquierda, que es el cinco. La pregunta es: ¿cuál es el número más grande cuyo cuadrado cabe dentro del cinco? Vamos probando. Dos al cuadrado son cuatro, y cuatro cabe en cinco. Tres al cuadrado son nueve, y nueve ya no cabe, se pasa. Así que el número es el dos. Ese dos es la primera cifra de nuestra raíz. Y ahora restamos, igual que en una división: cinco menos cuatro, que es lo que vale el dos al cuadrado, nos deja uno. Ese uno es el resto con el que seguimos.
Bajar y doblar
Ahora bajamos el siguiente grupo, el setenta y seis, y lo ponemos al lado del resto. Teníamos uno y bajamos setenta y seis, así que ahora trabajamos con ciento setenta y seis. Y aquí viene el paso que parece raro la primera vez, así que presta atención. Cogemos la parte de la raíz que ya tenemos, que es el dos, y la doblamos: dos por dos, cuatro. Ese cuatro lo apuntamos a la izquierda y le vamos a poner una cifra detrás, que todavía no sabemos cuál es. La llamaremos d.
La segunda cifra
Y lo que hay que encontrar es esa cifra d, con una condición: el número formado por cuatro y d, multiplicado por la propia d, tiene que caber dentro de ciento setenta y seis sin pasarse. Vamos probando. Si d fuera tres, tendríamos cuarenta y tres por tres, que son ciento veintinueve. Cabe, pero a lo mejor hay algo mejor. Si d fuera cuatro, cuarenta y cuatro por cuatro, que son ciento setenta y seis. Cabe justo, exactamente. Y si probáramos con cinco, cuarenta y cinco por cinco son doscientos veinticinco, que ya se pasa. Así que d es cuatro. Esa es la segunda cifra de la raíz. Restamos: ciento setenta y seis menos ciento setenta y seis, cero. Resto cero significa que la raíz es exacta. La raíz de quinientos setenta y seis es veinticuatro.
Comprueba tú mismo
Y ahora lo que hay que hacer siempre, y es lo más fácil de todo el video: comprobarlo. Una raíz se comprueba multiplicando el resultado por sí mismo, y tiene que darte el número de partida. Veinticuatro por veinticuatro. Veinte por veinticuatro son cuatrocientos ochenta, más cuatro por veinticuatro que son noventa y seis: quinientos setenta y seis. Exacto. Si te hubiera dado otro número, ahí mismo sabrías que te has equivocado en algún paso.
Ejercicio 1, paso a paso
Vamos con el primer ejercicio, y lo hacemos juntos en la pizarra antes de tocar nada. Raíz de ciento noventa y seis. Primero partimos de derecha a izquierda: el uno por un lado y el noventa y seis por otro. Dos grupos, así que dos cifras en la raíz. Primer grupo, el uno: el mayor cuadrado que cabe en uno es uno al cuadrado, que es uno. Primera cifra, el uno, y el resto es cero. Bajamos el noventa y seis. Doblamos la raíz que llevamos: dos por uno, dos. Y buscamos la cifra d tal que dos d por d quepa en noventa y seis. Probamos con cuatro: veinticuatro por cuatro son noventa y seis. Cabe justo. Así que la segunda cifra es cuatro y la raíz es catorce. Marco el catorce.
Practica gratis
Y quiero que mires bien esto que tienes ahora aquí a la derecha, porque es nuestro y es gratis. Es una página de ejercicios: tutoriolab.com, barra ejercicios, barra raíz cuadrada a mano. Cada vez que entras te salen números distintos, así que puedes practicar todas las veces que quieras sin repetir. Y lo que de verdad importa: cuando te equivocas no te suelta un "incorrecto" y te deja igual que estabas. Te dice qué error has cometido, con su nombre, y te enseña la cuenta hecha.
Cuando no es exacta
Ahora lo que pasa casi siempre, y que mucha gente no sabe cómo manejar: que la raíz no sea exacta. Porque los cuadrados perfectos son pocos, y la mayoría de los números no lo son. Vamos con ciento cincuenta. Partimos igual: el uno y el cincuenta. Primer grupo, el uno: uno al cuadrado es uno, cabe justo. Primera cifra uno, resto cero. Bajamos el cincuenta. Y doblamos la raíz que llevamos: dos por uno, dos.
La parte entera
Buscamos la cifra. Si fuera dos, veintidós por dos son cuarenta y cuatro, y cuarenta y cuatro cabe dentro de cincuenta. Si fuera tres, veintitrés por tres son sesenta y nueve, que ya se pasa de cincuenta. Así que la cifra es dos. La raíz que llevamos es doce. Y ahora restamos: cincuenta menos cuarenta y cuatro nos deja seis. Y ese seis no es cero, así que la raíz no es exacta. ¿Qué significa eso? Que doce es la parte entera de la raíz de ciento cincuenta, y que sobran seis. Doce al cuadrado son ciento cuarenta y cuatro, y de ahí a ciento cincuenta faltan seis. Para casi todo lo que vas a necesitar, con la parte entera basta.
Ejercicio 2, paso a paso
Segundo y último ejercicio, y es ese mismo número: la parte entera de la raíz de ciento cincuenta. Y aquí quiero que veas una cosa muy útil: si solo te piden la parte entera, no hace falta hacer el método entero. Se puede sacar de cabeza tanteando con los cuadrados que ya te sabes. Vas probando. Doce al cuadrado son ciento cuarenta y cuatro, que cabe en ciento cincuenta. Trece al cuadrado son ciento sesenta y nueve, que se pasa de ciento cincuenta. Así que la parte entera tiene que ser doce. Y ahora mira la trampa del once, que está muy bien puesta: once al cuadrado son ciento veintiuno, y ciento veintiuno también cabe dentro de ciento cincuenta, así que parece válido. Pero lo que se pide no es un número que quepa: es el MAYOR que cabe. Y el doce cabe y es mayor que el once. Ese matiz es todo el ejercicio.
Los cuatro pasos
Repasamos los cuatro pasos, que son siempre los mismos, con el número que sea. Uno: parte el número en grupos de dos cifras, desde la derecha, y al de la izquierda le puede quedar una sola. Dos: la primera cifra de la raíz es el mayor número cuyo cuadrado cabe en el primer grupo, y restas. Tres: bajas el grupo siguiente, doblas la raíz que llevas, y buscas la cifra que quepa. Y cuatro: comprueba siempre multiplicando la raíz por sí misma. Practícalo en tutoriolab.com, barra ejercicios, barra raíz cuadrada a mano.
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Dudas frecuentes
¿Cómo se saca una raíz cuadrada a mano?
Se parte el número en grupos de dos cifras desde la derecha, se busca el mayor cuadrado que cabe en el primer grupo, se resta, se baja el grupo siguiente y se dobla la raíz obtenida para buscar la cifra siguiente. Con √576 salen las cifras 2 y 4: la raíz es 24.
¿Por qué se parte el número de dos en dos?
Porque cada grupo de dos cifras da exactamente una cifra de la raíz. Por eso también sirve para saber de antemano cuántas cifras va a tener: dos grupos, dos cifras. Y se parte desde la derecha, no desde la izquierda; al grupo de la izquierda le puede quedar una sola cifra.
¿Qué hago si la raíz no es exacta?
No pasa nada: lo que obtienes es la parte entera y el resto te dice cuánto sobra. Con √150 sale 12 y sobran 6, porque 12² = 144 y de ahí a 150 faltan 6. Para casi todo lo que se necesita, con la parte entera basta.
¿Cómo sé entre qué dos números está una raíz sin calcularla?
Buscando los cuadrados que la rodean. Para √60: 7² = 49 se queda corto y 8² = 64 se pasa, así que está entre 7 y 8. Con saberse los cuadrados del 1 al 10 ya se hace de cabeza, y sirve para detectar un resultado absurdo en dos segundos.
¿Cómo compruebo que la raíz está bien?
Multiplicando el resultado por sí mismo: tiene que darte el número de partida. 24 × 24 = 576. Si la raíz no era exacta, el cuadrado más el resto tiene que dar el número: 12² + 6 = 150.
¿Hay ejercicios para practicar?
Sí, y son gratis: tutoriolab.com/ejercicios/raiz-cuadrada-a-mano. Salen números nuevos cada vez —exactos, con parte entera y de estimación— y cuando fallas te dice qué error has cometido y te enseña la cuenta hecha.
