Worteltrekken uit het hoofd, zonder rekenmachine
Een vierkantswortel met de hand berekenen gaat in vier stappen. Je splitst het getal vanaf rechts in groepen van twee cijfers (de linkergroep mag er één houden). Het eerste cijfer van de wortel is het grootste getal waarvan het kwadraat in de eerste groep past, en je trekt af. Je haalt de volgende groep omlaag, verdubbelt de wortel tot nu toe en zoekt het cijfer d zodat het getal dat je ermee vormt, maal d, in de rest past. Bij √576: 5|76, eerste cijfer 2 (rest 1), verdubbeld 4, 44×4 = 176, tweede cijfer 4, rest 0, wortel 24. Is de laatste rest niet nul, dan komt de wortel niet precies uit en heb je het gehele deel. En alles controleer je door de wortel met zichzelf te vermenigvuldigen.
Worteltrekken uit het hoofd, zonder rekenmachine en zonder iets over te slaan.
Wat een vierkantswortel is
We beginnen helemaal bij het begin, want ik wil niets als bekend veronderstellen. De vierkantswortel van een getal is de kwadraatvraag omgekeerd. Als ik je zeg dat het kwadraat van vijf vijfentwintig is, omdat vijf keer vijf vijfentwintig is, dan vraagt de wortel je het omgekeerde: welk getal maal zichzelf geeft vijfentwintig? En het antwoord is vijf. Er is maar één ding dat je uit je hoofd moet kennen voordat we verdergaan, en dat is de tafel van de kwadraten van één tot tien. Een keer een, een. Twee keer twee, vier. Drie keer drie, negen. Vier keer vier, zestien. Vijf keer vijf, vijfentwintig.
De hoofdrekentruc
En ik ga verder: zes keer zes, zesendertig. Zeven keer zeven, negenenveertig. Acht keer acht, vierenzestig. Negen keer negen, eenentachtig. En tien keer tien, honderd. Met alleen die tien kun je al een truc die goud waard is: je weet tussen welke twee getallen een wortel ligt zonder iets te rekenen. Kijk: de wortel van zestig. Tussen welke twee hele getallen ligt die? Je zoekt de kwadraten die eromheen liggen. Zeven in het kwadraat is negenenveertig, dat is te klein. Acht in het kwadraat is vierenzestig, dat is te groot. Dus de wortel van zestig ligt tussen zeven en acht. En dat, wat een kleinigheid lijkt, is wat je ervoor behoedt een onzinnige uitkomst aan te nemen.
Het getal splitsen
Nu naar de echte methode, die ook voor grote getallen werkt. Ik doe hem met vijfhonderdzesenzeventig, stap voor stap en zonder er één over te slaan. Het eerste is het getal in groepen van twee cijfers splitsen, en hier gaan steeds twee dingen fout. Het eerste: je splitst van rechts naar links, niet van links naar rechts. En het tweede: de laatste groep links mag één enkel cijfer hebben, en dat is normaal. Vijfhonderdzesenzeventig splitst zo: de vijf aan de ene kant, en de zesenzeventig aan de andere. Twee groepen. En daar komt het eerste nuttige gegeven: het aantal groepen is het aantal cijfers dat de wortel zal hebben. Twee groepen, twee cijfers.
Het eerste cijfer
We beginnen met de groep links, dat is de vijf. De vraag luidt: wat is het grootste getal waarvan het kwadraat in de vijf past? Laten we proberen. Twee in het kwadraat is vier, en vier past in vijf. Drie in het kwadraat is negen, en negen past niet meer, dat is te groot. Dus het getal is de twee. Die twee is het eerste cijfer van onze wortel. En nu trekken we af, net als bij een staartdeling: vijf min vier, wat twee in het kwadraat waard is, houdt één over. Die één is de rest waarmee we verdergaan.
Omlaag halen en verdubbelen
Nu halen we de volgende groep omlaag, de zesenzeventig, en zetten die naast de rest. We hadden één en we halen zesenzeventig omlaag, dus we werken nu met honderdzesenzeventig. En nu komt de stap die de eerste keer raar lijkt, dus let goed op. We nemen het deel van de wortel dat we al hebben, dus de twee, en we verdubbelen dat: twee keer twee, vier. Die vier schrijven we links op en daarachter zetten we een cijfer dat we nog niet kennen. We noemen het d.
Het tweede cijfer
En wat we moeten vinden is juist dat cijfer d, met één voorwaarde: het getal dat uit vier en d bestaat, maal d zelf, moet in honderdzesenzeventig passen zonder eroverheen te gaan. Laten we proberen. Als d drie was, dan hadden we drieënveertig keer drie, dat is honderdnegenentwintig. Het past, maar misschien kan het beter. Als d vier was, vierenveertig keer vier, dat is honderdzesenzeventig. Het past precies, exact. En als we vijf probeerden, vijfenveertig keer vijf is tweehonderdvijfentwintig, en dat is al te groot. Dus d is vier. Dat is het tweede cijfer van de wortel. We trekken af: honderdzesenzeventig min honderdzesenzeventig, nul. Een rest van nul betekent dat de wortel precies uitkomt. De vierkantswortel van vijfhonderdzesenzeventig is vierentwintig.
Zelf controleren
En nu wat je altijd moet doen, en het is het makkelijkste van deze hele video: controleren. Een wortel controleer je door de uitkomst met zichzelf te vermenigvuldigen, en dan moet het getal eruit komen waarmee je begon. Vierentwintig keer vierentwintig. Twintig keer vierentwintig is vierhonderdtachtig, plus vier keer vierentwintig dat zesennegentig is: vijfhonderdzesenzeventig. Precies goed. Als er een ander getal uit was gekomen, wist je meteen dat je ergens een stap fout hebt gedaan.
Oefening 1, stap voor stap
Laten we de eerste oefening doen, en we doen hem samen op het bord voordat we iets aanraken. De wortel van honderdzesennegentig. Eerst splitsen we van rechts naar links: de één aan de ene kant en de zesennegentig aan de andere. Twee groepen, dus twee cijfers in de wortel. Eerste groep, de één: het grootste kwadraat dat in één past is één in het kwadraat, dus één. Eerste cijfer, de één, en de rest is nul. We halen de zesennegentig omlaag. We verdubbelen de wortel die we tot nu toe hebben: twee keer één, twee. En we zoeken het cijfer d zodat twee d keer d in zesennegentig past. We proberen vier: vierentwintig keer vier is zesennegentig. Het past precies. Dus het tweede cijfer is vier en de wortel is veertien. Ik markeer de veertien.
Gratis oefenen
En ik wil dat je hier rechts goed naar kijkt, want het is van ons en het is gratis. Het is een oefenpagina: tutoriolab.com, schuine streep n l, schuine streep oefeningen, schuine streep worteltrekken. Elke keer dat je erop gaat krijg je andere getallen, je kunt dus zo vaak oefenen als je wilt zonder dat het zich herhaalt. En wat echt telt: als je er een fout hebt, gooit het je geen onjuist voor de voeten en laat het je staan waar je stond. Het zegt je welke fout je maakte, bij naam, en het laat je de uitgewerkte som zien.
Als het niet precies uitkomt
Nu wat bijna altijd gebeurt, en waar velen geen raad mee weten: dat de wortel niet precies uitkomt. Want volledige kwadraten zijn zeldzaam, en de meeste getallen zijn er geen. Laten we honderdvijftig doen. We splitsen het net zo: de één en de vijftig. Eerste groep, de één: één in het kwadraat is één, dat past precies. Eerste cijfer één, rest nul. We halen de vijftig omlaag. En we verdubbelen de wortel die we tot nu toe hebben: twee keer één, twee.
Het gehele deel
We zoeken het cijfer. Als het twee was, dan is tweeëntwintig keer twee vierenveertig, en vierenveertig past in vijftig. Als het drie was, dan is drieëntwintig keer drie negenenzestig, en dat gaat al over vijftig heen. Dus het cijfer is twee. De wortel die we tot nu toe hebben is twaalf. En nu trekken we af: vijftig min vierenveertig houdt zes over. En die zes is niet nul, dus de wortel komt niet precies uit. Wat betekent dat? Dat twaalf het gehele deel is van de wortel van honderdvijftig, en dat er zes overblijft. Twaalf in het kwadraat is honderdvierenveertig, en van daar tot honderdvijftig ontbreken er zes. Voor bijna alles wat je nodig hebt, is het gehele deel genoeg.
Oefening 2, stap voor stap
Tweede en laatste oefening, en het is datzelfde getal: het gehele deel van de wortel van honderdvijftig. En hier wil ik dat je iets heel nuttigs ziet: als ze alleen het gehele deel vragen, heb je de hele methode niet nodig. Je krijgt het uit je hoofd, door te proberen met de kwadraten die je al kent. We gaan verder. Twaalf in het kwadraat is honderdvierenveertig, en dat past in honderdvijftig. Dertien in het kwadraat is honderdnegenenzestig, en dat is te groot. Dus het gehele deel moet twaalf zijn. En kijk nu naar de elf-val, die heel goed gezet is: elf in het kwadraat is honderdeenentwintig, en honderdeenentwintig past ook in honderdvijftig, het lijkt dus geldig. Maar wat er gevraagd wordt is niet een getal dat past: het is het GROOTSTE dat past. En de twaalf past en is groter dan de elf. Dat verschil is de hele oefening.
De vier stappen
Laten we de vier stappen doornemen, die altijd hetzelfde zijn, met welk getal dan ook. Eén: het getal in groepen van twee cijfers splitsen, vanaf rechts, en die links mag er één houden. Twee: het eerste cijfer van de wortel is het grootste getal waarvan het kwadraat in de eerste groep past, en je trekt af. Drie: je haalt de volgende groep omlaag, je verdubbelt de wortel die je tot nu toe hebt, en je zoekt het cijfer dat past. En vier: altijd controleren door de wortel met zichzelf te vermenigvuldigen. Oefen het op tutoriolab.com, schuine streep n l, schuine streep oefeningen, schuine streep worteltrekken.
Als dit je geholpen heeft, abonneer je.
Veelgestelde vragen
Hoe bereken je een vierkantswortel met de hand?
Splits het getal vanaf rechts in paren cijfers, zoek het grootste getal waarvan het kwadraat in de eerste groep past en trek af, haal de volgende groep omlaag, verdubbel de wortel tot nu toe en vind het cijfer d zodat dat getal maal d in de rest past. Herhaal tot de groepen op zijn, en controleer door de wortel met zichzelf te vermenigvuldigen.
Waarom splits je de cijfers in paren en vanaf rechts?
Omdat elk paar cijfers precies één cijfer van de wortel oplevert: het aantal groepen zegt je dus hoeveel cijfers het antwoord heeft. Vanaf rechts, omdat daar de eenheden staan; vanaf links splitsen zou de paren breken, en de groep links mag één enkel cijfer houden.
Wat doe je als de vierkantswortel niet precies uitkomt?
Er gaat niets mis: de laatste rest is gewoon niet nul, en wat je gevonden hebt is het gehele deel. √150 = 12 met rest 6, want 12² = 144 en 150 − 144 = 6. Voor bijna alles wat je nodig hebt is het gehele deel genoeg.
Hoe weet ik tussen welke twee hele getallen een wortel ligt, zonder te rekenen?
Met de kwadraten van 1 tot 10 uit je hoofd. Voor √60: 7² = 49 is te klein en 8² = 64 is te groot, dus hij ligt tussen 7 en 8. Het kost seconden en het behoedt je ervoor een onzinnige uitkomst aan te nemen.
Als meerdere getallen passen, welke is dan het gehele deel?
Het GROOTSTE dat past, niet zomaar een dat past. Bij √150 past 11² = 121, maar 12² = 144 ook en 12 is groter; 13² = 169 is te groot. Het gehele deel is dus 12. Op dat verschil verliezen de meesten het punt.
Zijn er oefeningen om te trainen?
Ja, en ze zijn gratis: tutoriolab.com/nl/oefeningen/worteltrekken. Je krijgt elke keer nieuwe getallen — wortels die precies uitkomen, het gehele deel en tussen welke twee hele getallen hij ligt — en als je er een fout hebt, zegt het je welke fout je maakte.
