Racine carrée à la main, sans calculatrice
Calculer une racine carrée à la main tient en quatre étapes. On sépare le nombre en groupes de deux chiffres depuis la droite (celui de gauche peut n'en garder qu'un). Le premier chiffre de la racine est le plus grand nombre dont le carré tient dans le premier groupe, et on soustrait. On abaisse le groupe suivant, on double la racine obtenue et on cherche le chiffre d tel que le nombre formé avec lui, multiplié par d, tienne dans le reste. Avec √576 : 5|76, premier chiffre 2 (reste 1), double 4, 44×4 = 176, deuxième chiffre 4, reste 0, racine 24. Si le reste final n'est pas zéro, la racine n'est pas exacte et ce qu'on obtient est la partie entière. Et tout se vérifie en multipliant la racine par elle-même.
Racine carrée à la main, sans calculatrice et sans rien sauter.
Ce qu'est une racine carrée
Commençons par le tout début, parce que je ne veux rien supposer. La racine carrée d'un nombre, c'est la question du carré posée à l'envers. Si je te dis que le carré de cinq vaut vingt-cinq, parce que cinq fois cinq font vingt-cinq, la racine carrée te demande le contraire : quel nombre multiplié par lui-même donne vingt-cinq ? Et la réponse est cinq. Il n'y a qu'une seule chose à avoir en tête avant de continuer, et c'est la table des carrés de un à dix. Un fois un, un. Deux fois deux, quatre. Trois fois trois, neuf. Quatre fois quatre, seize. Cinq fois cinq, vingt-cinq.
L'astuce de tête
Et je continue : six fois six, trente-six. Sept fois sept, quarante-neuf. Huit fois huit, soixante-quatre. Neuf fois neuf, quatre-vingt-un. Et dix fois dix, cent. Avec ces dix-là seulement, tu peux déjà faire une astuce qui vaut de l'or : savoir entre quels deux nombres se trouve une racine sans rien calculer. Regarde : la racine de soixante. Entre quels deux nombres entiers se trouve-t-elle ? Tu cherches les carrés qui l'entourent. Sept au carré font quarante-neuf, c'est trop petit. Huit au carré font soixante-quatre, c'est trop grand. Donc la racine de soixante est entre sept et huit. Et ça, qui a l'air d'un détail, c'est ce qui t'évite d'accepter un résultat absurde.
Séparer le nombre
Passons maintenant à la vraie méthode, celle qui marche pour les grands nombres. Je vais la faire avec cinq cent soixante-seize, étape par étape et sans en sauter aucune. La première chose, c'est de séparer le nombre en groupes de deux chiffres, et ici il y a deux choses qu'on fait mal tout le temps. La première : on sépare de droite à gauche, pas de gauche à droite. Et la deuxième : le dernier groupe à gauche peut n'avoir qu'un seul chiffre, et c'est normal. Cinq cent soixante-seize se sépare comme ça : le cinq d'un côté, et le soixante-seize de l'autre. Deux groupes. Et voilà le premier renseignement utile : le nombre de groupes est le nombre de chiffres qu'aura la racine. Deux groupes, deux chiffres.
Le premier chiffre
On commence par le groupe de gauche, qui est le cinq. La question est : quel est le plus grand nombre dont le carré tient dans le cinq ? Essayons. Deux au carré font quatre, et quatre tient dans cinq. Trois au carré font neuf, et neuf ne tient plus, ça dépasse. Donc le nombre, c'est le deux. Ce deux est le premier chiffre de notre racine. Et maintenant on soustrait, comme dans une division : cinq moins quatre, qui est la valeur de deux au carré, il nous reste un. Ce un est le reste avec lequel on continue.
Abaisser et doubler
Maintenant on abaisse le groupe suivant, le soixante-seize, et on le met à côté du reste. On avait un et on abaisse soixante-seize, donc on travaille maintenant avec cent soixante-seize. Et voici l'étape qui paraît bizarre la première fois, alors fais bien attention. On prend la partie de la racine qu'on a déjà, c'est-à-dire le deux, et on la double : deux fois deux, quatre. On écrit ce quatre à gauche et on va mettre derrière un chiffre qu'on ne connaît pas encore. On l'appellera d.
Le deuxième chiffre
Et ce qu'il faut trouver, c'est justement ce chiffre d, avec une condition : le nombre formé par quatre et d, multiplié par d lui-même, doit tenir dans cent soixante-seize sans dépasser. Essayons. Si d valait trois, on aurait quarante-trois fois trois, c'est-à-dire cent vingt-neuf. Ça tient, mais on peut peut-être mieux. Si d valait quatre, quarante-quatre fois quatre, c'est-à-dire cent soixante-seize. Ça tombe juste, exactement. Et si on essayait cinq, quarante-cinq fois cinq font deux cent vingt-cinq, et ça dépasse déjà. Donc d vaut quatre. C'est le deuxième chiffre de la racine. On soustrait : cent soixante-seize moins cent soixante-seize, zéro. Un reste de zéro veut dire que la racine est exacte. La racine carrée de cinq cent soixante-seize est vingt-quatre.
Vérifier soi-même
Et maintenant ce qu'il faut toujours faire, et c'est le plus facile de toute la vidéo : vérifier. On vérifie une racine en multipliant le résultat par lui-même, et ça doit redonner le nombre de départ. Vingt-quatre fois vingt-quatre. Vingt fois vingt-quatre font quatre cent quatre-vingts, plus quatre fois vingt-quatre qui font quatre-vingt-seize : cinq cent soixante-seize. Exactement. Si ça t'avait donné un autre nombre, tu saurais tout de suite que tu t'es trompé quelque part.
Exercice 1, pas à pas
Faisons le premier exercice, et on va le faire ensemble au tableau avant de toucher à quoi que ce soit. La racine de cent quatre-vingt-seize. D'abord on sépare de droite à gauche : le un d'un côté et le quatre-vingt-seize de l'autre. Deux groupes, donc deux chiffres dans la racine. Premier groupe, le un : le plus grand carré qui tient dans un, c'est un au carré, c'est-à-dire un. Premier chiffre, le un, et le reste est zéro. On abaisse le quatre-vingt-seize. On double la racine qu'on a pour l'instant : deux fois un, deux. Et on cherche le chiffre d tel que deux d fois d tienne dans quatre-vingt-seize. On essaie quatre : vingt-quatre fois quatre font quatre-vingt-seize. Ça tombe juste. Donc le deuxième chiffre est quatre et la racine est quatorze. Je marque le quatorze.
S'entraîner gratuitement
Et je veux que tu regardes bien ceci à droite, parce que c'est à nous et c'est gratuit. C'est une page d'exercices : tutoriolab.com, barre f r, barre exercices, barre racine carrée. Chaque fois que tu y vas tu as des nombres différents, tu peux donc t'entraîner autant que tu veux sans que ça se répète. Et ce qui compte vraiment : quand tu te trompes, il ne te balance pas un incorrect en te laissant où tu en étais. Il te dit quelle erreur tu as faite, par son nom, et il te montre le calcul fait.
Quand elle n'est pas exacte
Maintenant ce qui arrive presque toujours, et que beaucoup ne savent pas gérer : que la racine ne soit pas exacte. Parce que les carrés parfaits sont rares, et la plupart des nombres n'en sont pas. Faisons cent cinquante. On le sépare pareil : le un et le cinquante. Premier groupe, le un : un au carré fait un, ça tombe juste. Premier chiffre un, reste zéro. On abaisse le cinquante. Et on double la racine qu'on a pour l'instant : deux fois un, deux.
La partie entière
On cherche le chiffre. Si c'était deux, vingt-deux fois deux font quarante-quatre, et quarante-quatre tient dans cinquante. Si c'était trois, vingt-trois fois trois font soixante-neuf, et ça dépasse déjà cinquante. Donc le chiffre est deux. La racine qu'on a pour l'instant est douze. Et maintenant on soustrait : cinquante moins quarante-quatre, il nous reste six. Et ce six n'est pas zéro, donc la racine n'est pas exacte. Qu'est-ce que ça veut dire ? Que douze est la partie entière de la racine de cent cinquante, et qu'il reste six. Douze au carré font cent quarante-quatre, et de là à cent cinquante il manque six. Pour presque tout ce dont tu auras besoin, la partie entière suffit.
Exercice 2, pas à pas
Deuxième et dernier exercice, et c'est ce même nombre : la partie entière de la racine de cent cinquante. Et ici je veux que tu voies quelque chose de très utile : si on ne te demande que la partie entière, tu n'as pas besoin de faire toute la méthode. Tu peux l'obtenir de tête, en essayant avec les carrés que tu connais déjà. On continue. Douze au carré font cent quarante-quatre, et ça tient dans cent cinquante. Treize au carré font cent soixante-neuf, et ça dépasse. Donc la partie entière doit être douze. Et maintenant regarde le piège du onze, qui est très bien posé : onze au carré font cent vingt et un, et cent vingt et un tient aussi dans cent cinquante, ça a donc l'air valable. Mais ce qu'on demande, ce n'est pas un nombre qui tient : c'est le PLUS GRAND qui tient. Et le douze tient et il est plus grand que le onze. Cette nuance, c'est tout l'exercice.
Les quatre étapes
Passons en revue les quatre étapes, qui sont toujours les mêmes, avec n'importe quel nombre. Un : séparer le nombre en groupes de deux chiffres, depuis la droite, et celui de gauche peut n'en avoir qu'un seul. Deux : le premier chiffre de la racine est le plus grand nombre dont le carré tient dans le premier groupe, et tu soustrais. Trois : tu abaisses le groupe suivant, tu doubles la racine que tu as pour l'instant, et tu cherches le chiffre qui tient. Et quatre : vérifier toujours en multipliant la racine par elle-même. Entraîne-toi sur tutoriolab.com, barre f r, barre exercices, barre racine carrée.
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Questions fréquentes
Comment calcule-t-on une racine carrée à la main ?
Sépare le nombre en paires de chiffres depuis la droite, cherche le plus grand nombre dont le carré tient dans le premier groupe et soustrais, abaisse le groupe suivant, double la racine obtenue et trouve le chiffre d tel que ce nombre fois d tienne dans le reste. Répète jusqu'à épuiser les groupes, et vérifie en multipliant la racine par elle-même.
Pourquoi sépare-t-on les chiffres par paires et depuis la droite ?
Parce que chaque paire de chiffres donne exactement un chiffre de la racine : le nombre de groupes te dit donc combien de chiffres aura la réponse. Depuis la droite, parce que c'est là que sont les unités ; séparer depuis la gauche casserait l'appariement, et le groupe de gauche a le droit de n'avoir qu'un seul chiffre.
Que faire quand la racine carrée n'est pas exacte ?
Rien ne va de travers : le reste final n'est simplement pas zéro, et ce que tu as trouvé est la partie entière. √150 = 12 et il reste 6, car 12² = 144 et 150 − 144 = 6. Pour presque tout ce dont tu as besoin, la partie entière suffit.
Comment savoir entre quels deux entiers se trouve une racine, sans calculer ?
Avec les carrés de 1 à 10 en tête. Pour √60 : 7² = 49 est trop petit et 8² = 64 est trop grand, elle est donc entre 7 et 8. Ça prend quelques secondes et ça t'évite d'accepter un résultat absurde.
Si plusieurs nombres tiennent, lequel est la partie entière ?
Le PLUS GRAND qui tient, pas n'importe lequel. Pour √150, 11² = 121 tient, mais 12² = 144 aussi et 12 est plus grand ; 13² = 169 dépasse. La partie entière est donc 12. C'est sur cette nuance que la plupart perdent le point.
Y a-t-il des exercices pour s'entraîner ?
Oui, et ils sont gratuits : tutoriolab.com/fr/exercices/racine-carree. Tu as de nouveaux nombres à chaque fois — racines exactes, partie entière et entre quels deux entiers elle se situe — et quand tu te trompes, il te dit quelle erreur tu as faite.
