Wurzel ziehen von Hand, ohne Taschenrechner
Eine Quadratwurzel von Hand zu ziehen hat vier Schritte. Du teilst die Zahl von rechts in Gruppen zu zwei Ziffern (die Gruppe links darf eine einzige behalten). Die erste Ziffer der Wurzel ist die größte Zahl, deren Quadrat in die erste Gruppe passt, und du subtrahierst. Du holst die nächste Gruppe herunter, verdoppelst die bisherige Wurzel und suchst die Ziffer d, sodass die mit ihr gebildete Zahl, mal d genommen, in den Rest passt. Bei √576: 5|76, erste Ziffer 2 (Rest 1), verdoppelt 4, 44×4 = 176, zweite Ziffer 4, Rest 0, Wurzel 24. Ist der letzte Rest nicht null, geht die Wurzel nicht auf und heraus kommt der ganzzahlige Teil. Und geprüft wird immer, indem man die Wurzel mit sich selbst multipliziert.
Wurzel ziehen von Hand, ohne Taschenrechner und ohne einen Schritt zu überspringen.
Was eine Quadratwurzel ist
Fangen wir ganz vorne an, denn ich möchte nichts voraussetzen. Die Quadratwurzel einer Zahl ist die umgekehrte Frage zum Quadrat. Wenn ich dir sage, dass das Quadrat von fünf fünfundzwanzig ist, weil fünf mal fünf fünfundzwanzig ergibt, dann fragt dich die Wurzel das Gegenteil: welche Zahl mal sich selbst ergibt fünfundzwanzig? Und die Antwort ist fünf. Es gibt nur eine einzige Sache, die du im Kopf haben solltest, bevor wir weitermachen, und das ist die Tafel der Quadratzahlen von eins bis zehn. Eins mal eins, eins. Zwei mal zwei, vier. Drei mal drei, neun. Vier mal vier, sechzehn. Fünf mal fünf, fünfundzwanzig.
Der Kopfrechen-Trick
Und ich mache weiter: sechs mal sechs, sechsunddreißig. Sieben mal sieben, neunundvierzig. Acht mal acht, vierundsechzig. Neun mal neun, einundachtzig. Und zehn mal zehn, hundert. Mit diesen zehn allein kannst du schon einen Trick, der sehr viel wert ist: du weißt, zwischen welchen zwei Zahlen eine Wurzel liegt, ohne irgendetwas zu rechnen. Schau: die Wurzel aus sechzig. Zwischen welchen zwei ganzen Zahlen liegt sie? Du suchst die Quadratzahlen, die sie umgeben. Sieben zum Quadrat ist neunundvierzig, das ist zu klein. Acht zum Quadrat ist vierundsechzig, das ist zu groß. Also liegt die Wurzel aus sechzig zwischen sieben und acht. Und das, was nach einer Kleinigkeit aussieht, bewahrt dich davor, ein unsinniges Ergebnis hinzunehmen.
Die Zahl aufteilen
Jetzt zum richtigen Verfahren, dem, das auch für große Zahlen funktioniert. Ich mache es mit fünfhundertsechsundsiebzig, Schritt für Schritt und ohne einen einzigen auszulassen. Als Erstes teilt man die Zahl in Gruppen zu zwei Ziffern, und hier werden ständig zwei Dinge falsch gemacht. Das Erste: man teilt von rechts nach links, nicht von links nach rechts. Und das Zweite: die letzte Gruppe links darf mit einer einzigen Ziffer dastehen, und das ist normal. Fünfhundertsechsundsiebzig teilt sich so: die fünf auf die eine Seite und die sechsundsiebzig auf die andere. Zwei Gruppen. Und damit kommt der erste nützliche Hinweis: die Anzahl der Gruppen ist die Anzahl der Ziffern, die die Wurzel haben wird. Zwei Gruppen, zwei Ziffern.
Die erste Ziffer
Wir beginnen mit der Gruppe links, das ist die fünf. Die Frage lautet: welche ist die größte Zahl, deren Quadrat in die fünf passt? Probieren wir. Zwei zum Quadrat ist vier, und vier passt in fünf. Drei zum Quadrat ist neun, und neun passt nicht mehr, das ist zu groß. Also ist die Zahl die zwei. Diese zwei ist die erste Ziffer unserer Wurzel. Und jetzt subtrahieren wir, genau wie beim Teilen: fünf minus vier, also minus dem, was zwei zum Quadrat wert ist, lässt uns eins. Diese eins ist der Rest, mit dem wir weiterarbeiten.
Herunterholen und verdoppeln
Jetzt holen wir die nächste Gruppe herunter, die sechsundsiebzig, und stellen sie neben den Rest. Wir hatten eins und holen sechsundsiebzig herunter, also arbeiten wir jetzt mit hundertsechsundsiebzig. Und hier kommt der Schritt, der beim ersten Mal seltsam wirkt, also pass gut auf. Wir nehmen den Teil der Wurzel, den wir schon haben, also die zwei, und verdoppeln ihn: zwei mal zwei, vier. Diese vier schreiben wir links hin und setzen dahinter eine Ziffer, die wir noch nicht kennen. Wir nennen sie d.
Die zweite Ziffer
Und was wir finden müssen, ist genau diese Ziffer d, mit einer Bedingung: die Zahl aus vier und d, mal d selbst genommen, muss in hundertsechsundsiebzig hineinpassen, ohne darüber zu gehen. Probieren wir. Wäre d drei, dann hätten wir dreiundvierzig mal drei, das sind hundertneunundzwanzig. Es passt, aber vielleicht geht es besser. Wäre d vier, vierundvierzig mal vier, das sind hundertsechsundsiebzig. Es passt genau, ganz exakt. Und probierten wir fünf, dann ist fünfundvierzig mal fünf zweihundertfünfundzwanzig, und das ist schon zu groß. Also ist d gleich vier. Das ist die zweite Ziffer der Wurzel. Wir subtrahieren: hundertsechsundsiebzig minus hundertsechsundsiebzig, null. Ein Rest von null bedeutet, dass die Wurzel aufgeht. Die Quadratwurzel aus fünfhundertsechsundsiebzig ist vierundzwanzig.
Selbst nachprüfen
Und jetzt das, was du immer machen musst, und es ist das Leichteste im ganzen Video: die Probe. Eine Wurzel prüft man, indem man das Ergebnis mit sich selbst multipliziert, und es muss die Zahl herauskommen, mit der du angefangen hast. Vierundzwanzig mal vierundzwanzig. Zwanzig mal vierundzwanzig sind vierhundertachtzig, plus vier mal vierundzwanzig, also sechsundneunzig: fünfhundertsechsundsiebzig. Genau richtig. Wäre eine andere Zahl herausgekommen, wüsstest du sofort, dass du dich in einem Schritt vertan hast.
Übung 1, Schritt für Schritt
Machen wir die erste Übung, und wir machen sie gemeinsam an der Tafel, bevor wir irgendetwas anfassen. Die Wurzel aus hundertsechsundneunzig. Zuerst teilen wir von rechts nach links: die eins auf die eine Seite und die sechsundneunzig auf die andere. Zwei Gruppen, also zwei Ziffern in der Wurzel. Erste Gruppe, die eins: die größte Quadratzahl, die in eins passt, ist eins zum Quadrat, also eins. Erste Ziffer, die eins, und der Rest ist null. Wir holen die sechsundneunzig herunter. Wir verdoppeln die Wurzel, die wir bisher haben: zwei mal eins, zwei. Und wir suchen die Ziffer d, sodass zwei d mal d in sechsundneunzig passt. Wir probieren vier: vierundzwanzig mal vier sind sechsundneunzig. Es passt genau. Also ist die zweite Ziffer vier und die Wurzel ist vierzehn. Ich markiere die vierzehn.
Kostenlos üben
Und ich möchte, dass du dir das hier rechts genau ansiehst, denn es ist unseres und es ist kostenlos. Es ist eine Übungsseite: tutoriolab.com, schrägstrich d e, schrägstrich uebungen, schrägstrich wurzel ziehen. Jedes Mal, wenn du hineingehst, bekommst du andere Zahlen, du kannst also so oft üben, wie du willst, ohne dass sich etwas wiederholt. Und was wirklich zählt: wenn du eine falsch hast, wirft es dir nicht einfach ein Falsch hin und lässt dich stehen, wo du warst. Es sagt dir, welchen Fehler du gemacht hast, mit Namen, und es zeigt dir die ausgerechnete Rechnung.
Wenn sie nicht aufgeht
Jetzt das, was fast immer passiert und womit viele nicht umzugehen wissen: dass die Wurzel nicht aufgeht. Denn Quadratzahlen sind selten, und die meisten Zahlen sind keine. Machen wir hundertfünfzig. Wir teilen genauso: die eins und die fünfzig. Erste Gruppe, die eins: eins zum Quadrat ist eins, das passt genau. Erste Ziffer eins, Rest null. Wir holen die fünfzig herunter. Und wir verdoppeln die Wurzel, die wir bisher haben: zwei mal eins, zwei.
Der ganzzahlige Teil
Wir suchen die Ziffer. Wäre sie zwei, dann sind zweiundzwanzig mal zwei vierundvierzig, und vierundvierzig passt in fünfzig. Wäre sie drei, dann sind dreiundzwanzig mal drei neunundsechzig, und das geht schon über fünfzig hinaus. Also ist die Ziffer zwei. Die Wurzel, die wir bisher haben, ist zwölf. Und jetzt subtrahieren wir: fünfzig minus vierundvierzig lässt uns sechs. Und diese sechs ist nicht null, also geht die Wurzel nicht auf. Was bedeutet das? Dass zwölf der ganzzahlige Teil der Wurzel aus hundertfünfzig ist und dass sechs übrig bleiben. Zwölf zum Quadrat ist hundertvierundvierzig, und von da bis hundertfünfzig fehlen sechs. Für fast alles, was du brauchen wirst, reicht der ganzzahlige Teil.
Übung 2, Schritt für Schritt
Zweite und letzte Übung, und es ist dieselbe Zahl: der ganzzahlige Teil der Wurzel aus hundertfünfzig. Und hier möchte ich, dass du etwas sehr Nützliches siehst: wenn nur der ganzzahlige Teil gefragt ist, brauchst du das ganze Verfahren nicht. Du bekommst ihn im Kopf, indem du mit den Quadratzahlen probierst, die du schon kennst. Weiter geht es. Zwölf zum Quadrat ist hundertvierundvierzig, das passt in hundertfünfzig. Dreizehn zum Quadrat ist hundertneunundsechzig, das ist zu groß. Also muss der ganzzahlige Teil zwölf sein. Und jetzt sieh dir die Elfer-Falle an, die sehr gut gestellt ist: elf zum Quadrat ist hunderteinundzwanzig, und hunderteinundzwanzig passt auch in hundertfünfzig, es sieht also gültig aus. Aber gefragt ist nicht irgendeine Zahl, die passt: gefragt ist die GRÖSSTE, die passt. Und die zwölf passt und ist größer als die elf. Dieser feine Unterschied ist die ganze Übung.
Die vier Schritte
Gehen wir die vier Schritte durch, die immer dieselben sind, mit welcher Zahl auch immer. Erstens: die Zahl von rechts in Gruppen zu zwei Ziffern teilen, und die links darf mit einer einzigen dastehen. Zweitens: die erste Ziffer der Wurzel ist die größte Zahl, deren Quadrat in die erste Gruppe passt, und du subtrahierst. Drittens: du holst die nächste Gruppe herunter, verdoppelst die Wurzel, die du bisher hast, und suchst die Ziffer, die passt. Und viertens: immer die Probe machen, die Wurzel mal sich selbst. Übe es auf tutoriolab.com, schrägstrich d e, schrägstrich uebungen, schrägstrich wurzel ziehen.
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Häufige Fragen
Wie zieht man eine Quadratwurzel von Hand?
Teile die Zahl von rechts in Zweierpärchen, suche die größte Zahl, deren Quadrat in die erste Gruppe passt, und subtrahiere. Hole die nächste Gruppe herunter, verdopple die bisherige Wurzel und finde die Ziffer d, sodass diese Zahl mal d in den Rest passt. Wiederhole, bis keine Gruppen mehr da sind, und mache die Probe, indem du die Wurzel mit sich selbst multiplizierst.
Warum teilt man die Ziffern in Pärchen und von rechts?
Weil jedes Ziffernpaar genau eine Ziffer der Wurzel ergibt: die Anzahl der Gruppen sagt dir also, wie viele Ziffern die Antwort hat. Von rechts, weil dort die Einer stehen; von links zu teilen würde die Paarbildung zerstören, und die Gruppe links darf eine einzige Ziffer behalten.
Was macht man, wenn die Quadratwurzel nicht aufgeht?
Nichts geht schief: der letzte Rest ist einfach nicht null, und gefunden hast du den ganzzahligen Teil. √150 = 12 mit Rest 6, denn 12² = 144 und 150 − 144 = 6. Für fast alles, was du brauchst, reicht der ganzzahlige Teil.
Wie weiß ich ohne Rechnen, zwischen welchen zwei ganzen Zahlen eine Wurzel liegt?
Mit den Quadratzahlen von 1 bis 10 im Kopf. Für √60: 7² = 49 ist zu klein und 8² = 64 ist zu groß, also liegt sie zwischen 7 und 8. Das dauert Sekunden und bewahrt dich davor, ein unsinniges Ergebnis hinzunehmen.
Wenn mehrere Zahlen passen, welche ist der ganzzahlige Teil?
Die GRÖSSTE, die passt, nicht irgendeine, die passt. Bei √150 passt 11² = 121, aber auch 12² = 144, und 12 ist größer; 13² = 169 ist zu groß. Der ganzzahlige Teil ist also 12. An diesem feinen Unterschied verlieren die meisten den Punkt.
Gibt es Übungen zum Trainieren?
Ja, und sie sind kostenlos: tutoriolab.com/de/uebungen/wurzel-ziehen. Du bekommst jedes Mal neue Zahlen — aufgehende Wurzeln, den ganzzahligen Teil und zwischen welchen zwei ganzen Zahlen sie liegt — und wenn du eine falsch hast, sagt es dir, welchen Fehler du gemacht hast.
