Isoler x, pas à pas

Isoler x tient en trois étapes, toujours les mêmes. Enlever d'abord ce qui additionne ou soustrait, en le faisant passer de l'autre côté avec le signe changé ; enlever ensuite ce qui multiplie ou divise, en faisant le contraire ; et enfin vérifier en mettant ta réponse dans l'équation de départ. Avec 3x + 5 = 20 : le +5 passe en soustrayant (3x = 15) et le 3 passe en divisant (x = 5). Quand le x est des deux côtés, emmène tous les x du côté où il y en a le plus et tous les nombres de l'autre (5x − 3 = 2x + 9 → 3x = 12 → x = 4). Avec une parenthèse, le nombre du dehors multiplie TOUT ce qui est dedans : 2(x + 4) = 2x + 8. Avec une fraction, rien ne change : le diviseur passe en multipliant. Et dans les problèmes, c'est toi qui écris l'équation : le triple d'un nombre moins 7 donne 20 → 3x − 7 = 20 → x = 9.

Isoler x, pas à pas et sans rien sauter.

Ce que c'est et ce qu'isoler veut dire

Commençons par le tout début, parce que je ne veux rien supposer. Une équation du premier degré est une égalité où il y a une lettre, en général le x, et cette lettre est seule : elle n'est pas au carré, ni sous une racine, ni rien de ce genre. Juste x. Par exemple : trois x plus cinq égale vingt. Et la résoudre, c'est trouver quel nombre est le x pour que l'égalité soit vraie. Ce travail s'appelle isoler : laisser le x seul d'un côté du signe égal, sans rien d'accroché.

L'idée de la balance

Avant de toucher aux nombres je veux que tu comprennes l'idée, parce que si tu la comprends tu n'auras aucune règle à apprendre par cœur. Imagine une balance à l'ancienne, avec deux plateaux. Le signe égal est le pivot : ce qu'il y a à gauche pèse exactement autant que ce qu'il y a à droite. Et voilà tout le secret : si tu enlèves quelque chose d'un plateau, tu dois enlever la même chose de l'autre, sinon la balance penche. C'est ça que veut dire cette phrase que tu as entendue mille fois, celle du nombre qui change de signe en passant de l'autre côté. Ce n'est pas de la magie ni un truc : c'est que tu l'enlèves des deux côtés à la fois. C'est pour ça que ce qui additionne passe en soustrayant, ce qui soustrait passe en additionnant, ce qui multiplie passe en divisant, et ce qui divise passe en multipliant. Toujours le contraire.

Enlever ce qui additionne

Faisons notre exemple : trois x plus cinq égale vingt. Qu'est-ce qui empêche le x d'être seul ? Deux choses : le plus cinq, qui additionne, et le trois, qui multiplie le x. Et l'ordre compte, alors note-le : d'abord tu enlèves ce qui additionne ou soustrait, et ensuite ce qui multiplie ou divise. Dans l'autre sens ça marche aussi, mais ça rend les calculs plus durs. On commence par le cinq. Il additionne du côté gauche, donc pour l'enlever on fait le contraire : il passe de l'autre côté en soustrayant. Il nous reste trois x égale vingt moins cinq. Et vingt moins cinq font quinze. Trois x égale quinze.

Enlever ce qui multiplie

Maintenant il ne reste que le trois qui gêne. Et regarde ce que fait ce trois : il multiplie le x, parce que trois x veut dire trois fois x. Donc pour l'enlever, on fait le contraire de multiplier, c'est-à-dire diviser. Le trois passe de l'autre côté en divisant. x égale quinze divisé par trois. Et quinze sur trois font cinq. Le voilà : x vaut cinq. On l'a laissé seul, et c'était tout ce qu'il y avait à faire.

Vérifier soi-même

Et maintenant je vais te montrer quelque chose que presque personne n'explique et qui sert à tous les contrôles de ta vie : comment savoir tout seul si tu as bien fait, sans demander à personne et sans regarder aucun corrigé. Tu prends le nombre que tu as trouvé et tu le mets dans l'équation de départ, à la place où était le x. Si l'égalité tient, c'est juste. Allons-y : trois fois cinq, plus cinq. Trois fois cinq font quinze, plus cinq font vingt. Et l'équation disait que ça devait donner vingt. Ça colle. Si ça t'avait donné n'importe quel autre nombre, tu saurais tout de suite que tu t'es trompé, et tu le saurais avant de rendre quoi que ce soit.

Exercice 1, pas à pas

Faisons le premier exercice, et on va le résoudre ensemble au tableau avant de toucher à quoi que ce soit. Cinq x moins trois égale dix-sept. D'abord, ce qui additionne ou soustrait : ici on a un moins trois. Il soustrait, donc il passe de l'autre côté en additionnant. Cinq x égale dix-sept plus trois, ce qui fait vingt. Maintenant ce qui multiplie : le cinq. Il passe en divisant. x égale vingt sur cinq, ce qui fait quatre. Et regarde bien une des options, le vingt, parce que c'est le piège le mieux posé : le vingt est un nombre qui apparaît vraiment dans le calcul, mais c'est ce que vaut cinq x, pas ce que vaut le x. Il manquait la dernière étape. Je marque le quatre.

S'entraîner gratuitement

Et je veux que tu regardes bien ceci à droite, parce que c'est à nous et c'est gratuit. C'est une page d'exercices : tutoriolab.com, barre f r, barre exercices, barre équations. Chaque fois que tu y vas tu as des équations différentes, tu peux donc t'entraîner autant que tu veux sans que ça se répète. Et ce qui compte vraiment : quand tu te trompes, il ne te balance pas un incorrect en te laissant où tu en étais. Il te dit quelle erreur tu as faite, par son nom, et il te montre le calcul fait.

x des deux côtés

Maintenant le premier cas où l'on bloque : ce qui se passe quand le x apparaît des deux côtés du signe égal. Par exemple : cinq x moins trois, égale deux x plus neuf. Ici il y a des x à gauche et des x à droite, et on ne peut rien isoler tant qu'ils sont séparés. La règle est courte et sans mystère : tous les x d'un côté, et tous les nombres seuls de l'autre. De quel côté emmener les x ? Peu importe, mais je te conseille de les emmener là où il y en a plus, pour ne pas finir avec un nombre négatif devant.

Regrouper et résoudre

Faisons-le. On a cinq x à gauche et deux x à droite, donc on emmène les x à gauche, là où il y en a plus. Le deux x additionne à droite, donc il passe à gauche en soustrayant. Et le moins trois soustrait à gauche, donc il passe à droite en additionnant. Il nous reste : cinq x moins deux x, égale neuf plus trois. Maintenant on regroupe chaque côté. Cinq x moins deux x font trois x, comme cinq pommes moins deux pommes font trois pommes. Et neuf plus trois font douze. Trois x égale douze. Et ça, c'est une des précédentes : le trois passe en divisant, et x vaut quatre.

Avec une parenthèse

Deuxième cas très recherché : quand il y a une parenthèse. Par exemple, deux fois, ouvre la parenthèse, x plus quatre, ferme la parenthèse, égale dix-huit. La première chose est d'enlever cette parenthèse, et voici l'erreur la plus fréquente de toute cette partie : ce deux à l'extérieur multiplie TOUT ce qu'il y a dedans, pas seulement le premier morceau. Ça s'appelle la distributivité, ce qui sonne affreux et veut dire exactement ça : ça se répartit sur tous.

Répartir et résoudre

Répartissons. Deux fois x font deux x. Et deux fois quatre font huit. Donc la parenthèse devient deux x plus huit, et l'équation reste : deux x plus huit égale dix-huit. Et à partir de là c'est une des normales, du genre de celles du début. Le huit additionne, donc il passe en soustrayant : deux x égale dix-huit moins huit, ce qui fait dix. Et le deux multiplie, donc il passe en divisant : x égale dix sur deux, cinq.

Avec une fraction

Et le troisième cas, aussi très recherché : quand le x est divisé par un nombre. Par exemple : x sur trois, plus deux, égale six. Beaucoup de gens se bloquent en voyant la fraction, et il n'y a aucune raison : ça se traite comme tout le reste. Suis l'ordre habituel. D'abord on enlève ce qui additionne ou soustrait, c'est-à-dire ici le plus deux, et ce deux est en dehors de la fraction, il additionne.

Enlever la fraction

Le deux passe de l'autre côté en soustrayant : x sur trois, égale six moins deux, ce qui fait quatre. Maintenant il ne reste que la fraction. Et regarde ce que fait le trois : il divise le x. Donc on fait le contraire : il passe de l'autre côté en multipliant. x égale quatre fois trois, ce qui fait douze. Et on vérifie vite : douze sur trois font quatre, plus deux font six. Ça colle.

Un problème de contrôle

Et on finit avec ce qui tombe vraiment aux contrôles, qui n'est presque jamais une équation déjà écrite : c'est un problème que tu dois transformer toi-même en équation. Celui-ci : le triple d'un nombre, moins sept, donne vingt. Quel est ce nombre ? La première étape, et c'est celle qui coûte le plus, c'est de mettre une lettre sur ce que tu ne connais pas. Ce qu'on ne connaît pas, c'est le nombre, donc le nombre est x. Et maintenant on traduit la phrase morceau par morceau : le triple d'un nombre veut dire trois multiplié par ce nombre, c'est-à-dire trois x.

Traduire et résoudre

On continue à traduire. Moins sept, c'est littéralement moins sept. Et donne vingt veut dire égale vingt. Donc toute la phrase, en langage mathématique, devient : trois x moins sept égale vingt. Et celle-là, on sait déjà la résoudre. Le moins sept passe en additionnant : trois x égale vingt plus sept, vingt-sept. Le trois passe en divisant : x égale vingt-sept sur trois, neuf. Le nombre était neuf. Et on le vérifie sur l'énoncé, ce qu'il faut toujours faire dans les problèmes : trois fois neuf font vingt-sept, moins sept font vingt. Exactement.

Exercice 2, pas à pas

Deuxième et dernier exercice, et c'est ce même problème. Je veux que tu revoies tout le chemin d'une traite, sans t'arrêter, pour que la structure te reste en tête. Tu mets une lettre sur ce que tu ne connais pas : le nombre est x. Tu traduis la phrase morceau par morceau : le triple c'est trois x, moins sept c'est moins sept, et donne vingt c'est égale vingt. Tu montes l'équation : trois x moins sept égale vingt. Et tu la résous avec les deux étapes habituelles : le sept passe en additionnant, vingt-sept ; le trois passe en divisant, neuf. Et regarde le piège du vingt-sept, qui est le meilleur : le vingt-sept apparaît vraiment dans le calcul et il est correct, mais c'est le triple du nombre, pas le nombre. C'est l'erreur de s'arrêter une étape trop tôt.

Les trois étapes

Passons en revue les trois étapes, qui seront toujours les mêmes, avec des parenthèses, avec des fractions ou avec des x des deux côtés. Une : enlever d'abord ce qui additionne ou soustrait, en le faisant passer de l'autre côté avec le signe changé. Deux : enlever ensuite ce qui multiplie ou divise, en faisant le contraire. Et trois : vérifier toujours en mettant ton résultat dans l'équation de départ, ce qui est la seule chose qui te dit que c'est juste sans demander à personne. Entraîne-toi sur tutoriolab.com, barre f r, barre exercices, barre équations.

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