Nach x auflösen, Schritt für Schritt

Nach x aufzulösen hat drei Schritte, immer dieselben. Zuerst entfernen, was addiert oder subtrahiert, indem es mit gewechseltem Vorzeichen auf die andere Seite geht; dann entfernen, was multipliziert oder dividiert, indem man das Gegenteil tut; und zuletzt die Probe, indem man das Ergebnis in die ursprüngliche Gleichung einsetzt. Bei 3x + 5 = 20: die +5 geht subtrahierend hinüber (3x = 15) und die 3 geht dividierend hinüber (x = 5). Steht das x auf beiden Seiten, bringt man alle x auf die Seite mit den meisten und alle Zahlen auf die andere (5x − 3 = 2x + 9 → 3x = 12 → x = 4). Bei einer Klammer multipliziert die Zahl draußen ALLES drinnen: 2(x + 4) = 2x + 8. Bei einem Bruch ändert sich nichts: der Teiler geht multiplizierend hinüber. Und bei Textaufgaben schreibst du die Gleichung selbst: das Dreifache einer Zahl minus 7 ergibt 20 → 3x − 7 = 20 → x = 9.

Nach x auflösen, Schritt für Schritt und ohne etwas zu überspringen.

Was sie ist und was Auflösen heißt

Fangen wir ganz vorne an, denn ich möchte nichts voraussetzen. Eine lineare Gleichung ist eine Gleichheit, in der ein Buchstabe vorkommt, meistens das x, und dieser Buchstabe steht allein: er ist nicht quadriert, steht nicht unter einer Wurzel und nichts dergleichen. Einfach x. Zum Beispiel: drei x plus fünf gleich zwanzig. Und sie zu lösen heißt herauszufinden, welche Zahl das x ist, damit die Gleichheit stimmt. Diese Arbeit heißt auflösen: das x allein auf eine Seite des Gleichheitszeichens bringen, ohne dass etwas daran hängt.

Die Waage-Idee

Bevor wir Zahlen anfassen, möchte ich, dass du die Idee verstehst, denn wenn du sie verstehst, musst du keine einzige Regel auswendig lernen. Stell dir eine altmodische Waage vor, mit zwei Schalen. Das Gleichheitszeichen ist der Drehpunkt: was links liegt, wiegt genau so viel wie das, was rechts liegt. Und hier ist das ganze Geheimnis: wenn du von einer Schale etwas herunternimmst, musst du dasselbe von der anderen herunternehmen, sonst kippt die Waage. Das bedeutet dieser Satz, den du tausendmal gehört hast, der mit dem Vorzeichen, das beim Hinübergehen wechselt. Es ist keine Zauberei und kein Trick: es heißt, dass du es auf beiden Seiten zugleich wegnimmst. Deshalb geht das, was addiert, subtrahierend hinüber, das, was subtrahiert, geht addierend hinüber, was multipliziert, geht dividierend hinüber, und was dividiert, geht multiplizierend hinüber. Immer das Gegenteil.

Weg mit dem, was addiert

Machen wir unser Beispiel: drei x plus fünf gleich zwanzig. Was hindert das x daran, allein zu stehen? Zwei Dinge: die plus fünf, die addiert, und die drei, die das x multipliziert. Und die Reihenfolge ist wichtig, schreib sie dir auf: zuerst entfernst du, was addiert oder subtrahiert, und danach, was multipliziert oder dividiert. Andersherum geht es auch, aber die Rechnerei wird schwerer. Wir fangen mit der fünf an. Sie addiert auf der linken Seite, um sie zu entfernen, machen wir also das Gegenteil: sie geht subtrahierend auf die andere Seite. Es bleibt drei x gleich zwanzig minus fünf. Und zwanzig minus fünf ist fünfzehn. Drei x gleich fünfzehn.

Weg mit dem, was multipliziert

Jetzt stört nur noch die drei. Und sieh, was diese drei tut: sie multipliziert das x, denn drei x bedeutet drei mal x. Um sie zu entfernen, machen wir also das Gegenteil vom Multiplizieren, und das ist Dividieren. Die drei geht dividierend auf die andere Seite. x gleich fünfzehn geteilt durch drei. Und fünfzehn durch drei ist fünf. Da ist es: x ist fünf wert. Wir haben es allein stehen lassen, und das war alles, was zu tun war.

Selbst nachprüfen

Und jetzt zeige ich dir etwas, das fast niemand erklärt und das sich in jeder Klassenarbeit deines Lebens lohnt: wie du selbst weißt, ob du es richtig gemacht hast, ohne jemanden zu fragen und ohne in irgendeine Lösung zu schauen. Du nimmst die Zahl, die herausgekommen ist, und setzt sie in die ursprüngliche Gleichung ein, an die Stelle, wo das x stand. Wenn die Gleichheit stimmt, ist es richtig. Los geht es: drei mal fünf, plus fünf. Drei mal fünf ist fünfzehn, plus fünf ist zwanzig. Und die Gleichung sagte, es muss zwanzig ergeben. Es stimmt. Hätte es irgendeine andere Zahl ergeben, wüsstest du sofort, dass du dich vertan hast, und du wüsstest es, bevor du irgendetwas abgibst.

Übung 1, Schritt für Schritt

Machen wir die erste Übung, und wir lösen sie gemeinsam an der Tafel, bevor wir irgendetwas anfassen. Fünf x minus drei gleich siebzehn. Zuerst das, was addiert oder subtrahiert: hier haben wir eine minus drei. Sie subtrahiert, sie geht also addierend auf die andere Seite. Fünf x gleich siebzehn plus drei, und das sind zwanzig. Jetzt das, was multipliziert: die fünf. Sie geht dividierend hinüber. x gleich zwanzig durch fünf, und das sind vier. Und sieh dir eine der Optionen genau an, die zwanzig, denn sie ist die am besten gestellte Falle: die zwanzig ist eine Zahl, die in der Rechnung wirklich vorkommt, aber sie ist der Wert von fünf x, nicht der Wert von x. Der letzte Schritt fehlte. Ich markiere die vier.

Kostenlos üben

Und ich möchte, dass du dir das hier rechts genau ansiehst, denn es ist unseres und es ist kostenlos. Es ist eine Übungsseite: tutoriolab.com, schrägstrich d e, schrägstrich uebungen, schrägstrich gleichungen. Jedes Mal, wenn du hineingehst, bekommst du andere Gleichungen, du kannst also so oft üben, wie du willst, ohne dass sich etwas wiederholt. Und was wirklich zählt: wenn du eine falsch hast, wirft es dir nicht einfach ein Falsch hin und lässt dich stehen, wo du warst. Es sagt dir, welchen Fehler du gemacht hast, mit Namen, und es zeigt dir die ausgerechnete Rechnung.

x auf beiden Seiten

Jetzt der erste Fall, an dem man hängen bleibt: was passiert, wenn das x auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens steht. Zum Beispiel: fünf x minus drei, gleich zwei x plus neun. Hier stehen x links und x rechts, und man kann nichts auflösen, solange sie verteilt sind. Die Regel ist kurz und hat kein Geheimnis: alle x auf eine Seite und alle losen Zahlen auf die andere. Auf welche Seite bringst du die x? Das ist egal, aber ich empfehle, sie dorthin zu bringen, wo es mehr gibt, damit du am Ende keine negative Zahl davor hast.

Zusammenfassen und lösen

Machen wir es. Wir haben fünf x links und zwei x rechts, wir bringen die x also nach links, wo es mehr gibt. Die zwei x addiert rechts, sie geht also subtrahierend nach links. Und die minus drei subtrahiert links, sie geht also addierend nach rechts. Es bleibt: fünf x minus zwei x, gleich neun plus drei. Jetzt fassen wir jede Seite zusammen. Fünf x minus zwei x ist drei x, genau wie fünf Äpfel minus zwei Äpfel drei Äpfel sind. Und neun plus drei ist zwölf. Drei x gleich zwölf. Und das ist eine von vorhin: die drei geht dividierend hinüber, und x ist vier wert.

Mit Klammer

Zweiter Fall, nach dem viel gesucht wird: wenn eine Klammer da ist. Zum Beispiel zwei mal, Klammer auf, x plus vier, Klammer zu, gleich achtzehn. Als Erstes muss diese Klammer weg, und hier steckt der häufigste Fehler in diesem ganzen Abschnitt: die zwei draußen multipliziert ALLES, was drinnen steht, nicht nur das erste Stück. Das heißt Distributivgesetz, was furchtbar klingt und genau das bedeutet: es wird unter allen aufgeteilt.

Aufteilen und lösen

Teilen wir es auf. Zwei mal x ist zwei x. Und zwei mal vier ist acht. Aus der Klammer wird also zwei x plus acht, und die Gleichung lautet: zwei x plus acht gleich achtzehn. Und von hier an ist es eine ganz normale, von der Sorte, die wir am Anfang gemacht haben. Die acht addiert, sie geht also subtrahierend hinüber: zwei x gleich achtzehn minus acht, und das sind zehn. Und die zwei multipliziert, sie geht also dividierend hinüber: x gleich zehn durch zwei, fünf.

Mit Bruch

Und der dritte Fall, nach dem auch einiges gesucht wird: wenn das x durch eine Zahl geteilt wird. Zum Beispiel: x durch drei, plus zwei, gleich sechs. Viele blockieren, wenn sie den Bruch sehen, und dazu gibt es keinen Grund: er wird genauso behandelt wie alles andere. Halte dich an die übliche Reihenfolge. Zuerst entfernen wir, was addiert oder subtrahiert, und das ist hier die plus zwei, und diese zwei steht außerhalb des Bruchs und addiert.

Den Bruch entfernen

Die zwei geht subtrahierend auf die andere Seite: x durch drei, gleich sechs minus zwei, und das sind vier. Jetzt bleibt der Bruch allein. Und sieh, was die drei tut: sie teilt das x. Wir machen also das Gegenteil: sie geht multiplizierend auf die andere Seite. x gleich vier mal drei, und das sind zwölf. Und wir machen schnell die Probe: zwölf durch drei ist vier, plus zwei ist sechs. Es stimmt.

Eine Textaufgabe

Und wir schließen mit dem, was in Klassenarbeiten wirklich vorkommt, und das ist fast nie eine fertig hingeschriebene Gleichung: es ist eine Textaufgabe, die du selbst in eine Gleichung verwandeln musst. Diese hier: das Dreifache einer Zahl, minus sieben, ergibt zwanzig. Wie heißt die Zahl? Der erste Schritt, und er ist der schwerste, ist, dem Unbekannten einen Buchstaben zu geben. Unbekannt ist die Zahl, die Zahl ist also x. Und jetzt übersetzen wir den Satz Stück für Stück: das Dreifache einer Zahl heißt drei mal diese Zahl, also drei x.

Übersetzen und lösen

Wir übersetzen weiter. Minus sieben ist wörtlich minus sieben. Und ergibt zwanzig heißt gleich zwanzig. Der ganze Satz lautet also in der Sprache der Mathematik: drei x minus sieben gleich zwanzig. Und die können wir schon lösen. Die minus sieben geht addierend hinüber: drei x gleich zwanzig plus sieben, siebenundzwanzig. Die drei geht dividierend hinüber: x gleich siebenundzwanzig durch drei, neun. Die Zahl war die neun. Und wir prüfen es am Text, was man bei Textaufgaben immer tun muss: drei mal neun ist siebenundzwanzig, minus sieben ist zwanzig. Genau richtig.

Übung 2, Schritt für Schritt

Zweite und letzte Übung, und es ist dieselbe Aufgabe. Ich möchte, dass du den ganzen Weg noch einmal in einem Zug siehst, ohne anzuhalten, damit dir die Struktur im Kopf bleibt. Du gibst dem Unbekannten einen Buchstaben: die Zahl ist also x. Du übersetzt den Satz Stück für Stück: das Dreifache ist drei x, minus sieben ist minus sieben, und ergibt zwanzig ist gleich zwanzig. Du stellst die Gleichung auf: drei x minus sieben gleich zwanzig. Und du löst sie mit den zwei üblichen Schritten: die sieben geht addierend hinüber, siebenundzwanzig; die drei geht dividierend hinüber, neun. Und sieh dir die Siebenundzwanziger-Falle an, die die beste ist: die siebenundzwanzig kommt in der Rechnung wirklich vor und sie ist richtig, aber sie ist das Dreifache der Zahl, nicht die Zahl. Es ist der Fehler, einen Schritt zu früh aufzuhören.

Die drei Schritte

Gehen wir die drei Schritte durch, die immer dieselben sein werden, mit Klammern, mit Brüchen oder mit x auf beiden Seiten. Erstens: zuerst entfernen, was addiert oder subtrahiert, indem es mit gewechseltem Vorzeichen auf die andere Seite geht. Zweitens: dann entfernen, was multipliziert oder dividiert, indem man das Gegenteil tut. Und drittens: immer die Probe machen, indem du dein Ergebnis in die ursprüngliche Gleichung einsetzt, und das ist das Einzige, was dir sagt, dass es stimmt, ohne dass du jemanden fragen musst. Übe es auf tutoriolab.com, schrägstrich d e, schrägstrich uebungen, schrägstrich gleichungen.

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