Les priorités opératoires, de zéro
Les priorités opératoires forment un escalier à quatre marches, toujours de haut en bas : parenthèses, puis puissances et racines, puis multiplication et division, et enfin addition et soustraction. 3 + 4 × 5 = 23, pas 35, parce que le × est à une marche plus haute que le +. Une parenthèse passe avant tout, c'est pourquoi (3 + 4) × 5 = 35 est juste. Et ce que presque personne n'explique : × et ÷ sont au MÊME niveau, l'égalité se tranche donc de gauche à droite — 24 ÷ 4 × 2 fait 12, pas 3 — et + et − se comportent pareil. PEMDAS le cache : le M ne passe pas avant le D. Pour les calculs longs, une opération à la fois en réécrivant tout après chaque étape.
Les priorités opératoires, et un calcul long résolu jusqu'au bout.
Pourquoi il faut un ordre
Commençons par le pourquoi, parce qu'une fois que tu tiens le pourquoi, il n'y a plus rien à apprendre par cœur. Regarde ce calcul : trois plus quatre fois cinq. Si tu le donnes à dix personnes, certaines te diront trente-cinq et d'autres te diront vingt-trois. Et c'est un problème sérieux, parce qu'un seul et même calcul ne peut pas donner deux résultats différents selon qui le lit. C'est pour ça que les mathématiciens se sont mis d'accord sur un ordre, un seul ordre valable dans le monde entier, pour que le même calcul veuille toujours dire la même chose. Et avec cet ordre, la bonne réponse est vingt-trois. Voyons maintenant d'où elle vient.
L'escalier à quatre marches
L'ordre est un escalier à quatre marches, et on descend toujours du haut vers le bas. Marche un, avant tout le reste : les parenthèses. Ce qui est dans une parenthèse se résout avant tout. Marche deux : les puissances et les racines. Marche trois : les multiplications et les divisions. Et marche quatre, en dernier : les additions et les soustractions. Écris l'escalier, parce qu'il ne change jamais : parenthèses, puissances, multiplier et diviser, additionner et soustraire. Et l'important, c'est qu'on descend jusqu'en bas : on ne passe pas à la marche suivante tant qu'il reste quelque chose de la précédente.
Pourquoi × passe avant +
Revenons à notre calcul : trois plus quatre fois cinq. Qu'est-ce qu'il y a là-dedans ? Il y a une addition et il y a une multiplication. On regarde l'escalier : la multiplication est à la marche trois et l'addition à la marche quatre, donc la multiplication passe en premier. Quatre fois cinq font vingt. Et maintenant, seulement maintenant, l'addition : trois plus vingt, vingt-trois. C'est de là que vient le vingt-trois. Et d'où venait le trente-cinq ? D'avoir additionné trois plus quatre d'abord, sept, et d'avoir multiplié par cinq. C'est ce que tu obtiens si tu lis le calcul comme si c'était un texte, de gauche à droite. Et c'est exactement ce qu'on ne fait pas.
Les parenthèses passent avant
Maintenant fais attention, parce qu'arrive quelque chose qui a l'air d'un détail et n'en est pas un. Prends les mêmes nombres, trois, quatre et cinq, avec les mêmes signes, et mets une parenthèse autour du trois plus quatre. La parenthèse est à la marche un, ce qui veut dire qu'elle passe avant tout le reste : ce qui est dedans se résout d'abord. Trois plus quatre, sept. Et maintenant ce qui est dehors : sept fois cinq, trente-cinq. Donc ce trente-cinq qui était faux tout à l'heure est juste avec la parenthèse. C'est à ça que sert une parenthèse : à changer l'ordre exprès.
L'égalité : de gauche à droite
Et maintenant le cas que presque personne n'explique et qui décide la moitié des exercices. Regarde ça : vingt-quatre divisé par quatre, fois deux. Il y a ici une division et une multiplication, et toutes les deux sont à la même marche, la marche trois. Aucune ne passe avant l'autre. Alors quoi ? Alors, et seulement alors, on va de gauche à droite. La division est à gauche, donc elle passe en premier : vingt-quatre sur quatre font six. Et ensuite six fois deux, douze. La réponse est douze. Si tu avais fait la multiplication d'abord, quatre fois deux huit, et vingt-quatre sur huit, ça t'aurait donné trois, et ce serait faux. Et avec les additions et les soustractions il se passe exactement la même chose : même marche, on va de gauche à droite.
Un long : parenthèse et puissance
Et maintenant ce qu'on demande vraiment, c'est-à-dire un calcul long. Celui-ci : deux plus trois fois, ouvre la parenthèse, huit moins cinq, ferme la parenthèse, au carré, divisé par neuf. Ça fait peur, mais ça marche pareil : on descend l'escalier en résolvant UNE seule opération à la fois. Marche un, parenthèses : huit moins cinq, trois. Et maintenant, très important, je réécris tout le calcul avec ce trois à sa place. Marche deux, puissances : trois au carré, neuf. Et je le réécris encore en entier.
Le même, jusqu'au bout
On continue à descendre l'escalier. Marche trois, multiplier et diviser, et les deux sont au même niveau, donc je vais de gauche à droite : trois fois neuf, vingt-sept. Et maintenant vingt-sept sur neuf, trois. Il me reste deux plus trois. Marche quatre, l'addition : deux plus trois, cinq. Le résultat est cinq. Et remarque ce que je viens de faire : une seule opération à la fois, et en réécrivant tout le calcul après chaque étape. C'est exactement ça qui t'évite de te perdre dans les calculs longs.
PEMDAS et son piège
Et un mot sur les sigles, parce que tu vas les voir et parce qu'ils font beaucoup de mal. Tu as sûrement entendu PEMDAS, ou BODMAS, selon le pays. PEMDAS, c'est parenthèses, exposants, multiplication, division, addition, soustraction. Le problème, c'est que lu comme ça, on dirait que la multiplication passe avant la division et l'addition avant la soustraction, et c'est faux. Multiplication et division sont à la même marche, et addition et soustraction aussi. Les sigles ne le disent pas, et c'est pour ça qu'ici on prend l'escalier à quatre marches : parce qu'il montre les égalités, et c'est là qu'est l'erreur coûteuse.
Exercice 1, pas à pas
Faisons le premier exercice, et on va le résoudre ensemble avant de toucher à quoi que ce soit. Quatre plus trois fois six. La première étape n'est pas de calculer : c'est de regarder quelles opérations il y a. Ici il y a une addition et il y a une multiplication. Allons à l'escalier : la multiplication est à la marche trois, l'addition à la marche quatre, donc la multiplication gagne. Et remarque une chose qui trompe beaucoup de monde : le quatre est le premier de tous, écrit tout à gauche, et malgré ça il doit attendre son tour. La place où un nombre est écrit ne lui donne aucune priorité. On multiplie : trois fois six font dix-huit. Et maintenant, oui, l'addition : quatre plus dix-huit, vingt-deux. La réponse est vingt-deux. Et regarde le piège du quarante-deux : il vient d'additionner quatre plus trois, sept, et de multiplier par six. C'est exactement l'erreur de lire le calcul de gauche à droite. Je marque le vingt-deux. Et remarque que le quarante-deux n'est pas un mauvais nombre au hasard : c'est ce qu'on obtient en faisant chaque calcul soigneusement et en lisant quand même dans le mauvais ordre, et c'est pour ça qu'il attrape tant de monde.
S'entraîner gratuitement
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Exercice 2, pas à pas
Deuxième et dernier exercice, et c'est justement celui de l'égalité, celui qu'il faut avoir clair. Trente-six divisé par six, fois trois. Qu'est-ce qu'il y a ? Une division et une multiplication, toutes les deux à la marche trois. Une égalité. Donc de gauche à droite, et à gauche il y a la division. Trente-six sur six font six. Et maintenant six fois trois, dix-huit. La réponse est dix-huit. Et regarde le piège du deux : il vient d'avoir fait six fois trois d'abord, dix-huit, puis trente-six sur dix-huit. Ça a l'air raisonnable et c'est faux, parce que le fois ne passe pas avant le divisé.
Ce qu'il faut retenir
Passons en revue ce qu'il faut retenir. L'escalier : les parenthèses d'abord, les puissances et les racines en deuxième, multiplier et diviser en troisième, et additionner et soustraire en quatrième. Quand deux opérations sont à la même marche il y a égalité, et l'égalité se tranche de gauche à droite, jamais en faisant d'abord celle qui te paraît plus importante. Et pour les calculs longs, l'astuce qui marche vraiment : résoudre une seule opération à la fois et réécrire tout le calcul après chaque étape. Entraîne-toi sur tutoriolab.com, barre f r, barre exercices, barre priorités opératoires.
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Questions fréquentes
Quel est l'ordre des priorités opératoires ?
Les parenthèses d'abord, puis les puissances et les racines, puis la multiplication et la division, et enfin l'addition et la soustraction. On descend toujours de haut en bas et on ne passe pas à la marche suivante tant qu'il reste quelque chose de la précédente.
Pourquoi 3 + 4 × 5 fait-il 23 et pas 35 ?
Parce que la multiplication est à une marche plus haute que l'addition : 4 × 5 = 20 passe en premier, puis 3 + 20 = 23. Le 35 vient de lire de gauche à droite, ce qu'on ne fait justement pas. Avec une parenthèse, (3 + 4) × 5, le 35 serait juste.
La multiplication passe-t-elle avant la division ?
Non. Elles sont au même niveau, et c'est l'erreur la plus fréquente avec PEMDAS : le M avant le D est un mensonge. Quand deux opérations sont à la même marche, on tranche de gauche à droite. C'est pour ça que 24 ÷ 4 × 2 fait 12 et pas 3. Addition et soustraction, pareil.
Comment résoudre un calcul long sans se perdre ?
Une seule opération à la fois, et réécrire tout le calcul après chaque étape. Réécrire coûte trois secondes et c'est ce qui t'évite de perdre un signe en route. Pour 2 + 3 × (8 − 5)² ÷ 9 : parenthèse, puis la puissance, puis × et ÷ de gauche à droite, et enfin l'addition.
PEMDAS est-il faux ?
Pas faux, mais trompeur : lu comme six lettres, il suggère six niveaux, et il y en a quatre. M et D sont un niveau, A et S un autre. L'escalier à quatre marches montre les égalités, et c'est exactement là que se produit l'erreur coûteuse.
Y a-t-il des exercices pour s'entraîner ?
Oui, et ils sont gratuits : tutoriolab.com/fr/exercices/priorites-operatoires. Tu as les trois cas de la vidéo — sans parenthèses, avec parenthèses et celui de l'égalité — avec de nouveaux nombres à chaque fois, et quand tu te trompes, il te dit quelle erreur tu as faite.
