Punkt vor Strich, von null an
Die Rechenreihenfolge ist eine Treppe mit vier Stufen, immer von oben nach unten: Klammern, dann Potenzen und Wurzeln, dann Multiplikation und Division, und zuletzt Addition und Subtraktion. 3 + 4 × 5 = 23, nicht 35, weil das × auf einer höheren Stufe steht als das +. Eine Klammer schlägt alles, deshalb ist (3 + 4) × 5 = 35 richtig. Und was fast niemand erklärt: × und ÷ stehen GLEICH hoch, ein Gleichstand wird also von links nach rechts entschieden — 24 ÷ 4 × 2 ist 12, nicht 3 — und bei + und − ist es genauso. PEMDAS verbirgt das: das M kommt nicht vor dem D. Bei langen Aufgaben: eine Rechnung pro Zug und nach jedem Schritt alles neu hinschreiben.
Punkt vor Strich, und eine lange Aufgabe ganz durchgerechnet.
Warum es eine Reihenfolge braucht
Fangen wir beim Warum an, denn wenn du das Warum verstehst, bleibt nichts mehr zum Auswendiglernen. Sieh dir diese Aufgabe an: drei plus vier mal fünf. Wenn du sie zehn Leuten gibst, sagen dir einige fünfunddreißig und andere dreiundzwanzig. Und das ist ein ernstes Problem, denn ein und dieselbe Aufgabe kann nicht zwei verschiedene Ergebnisse haben, je nachdem wer sie liest. Deshalb haben sich die Mathematiker auf eine Reihenfolge geeinigt, eine einzige Reihenfolge, die auf der ganzen Welt gilt, damit dieselbe Aufgabe immer dasselbe bedeutet. Und mit dieser Reihenfolge ist die richtige Antwort dreiundzwanzig. Sehen wir uns jetzt an, woher sie kommt.
Die Treppe mit vier Stufen
Die Reihenfolge ist eine Treppe mit vier Stufen, und man geht immer von oben nach unten. Stufe eins, vor allem anderen: die Klammern. Was in einer Klammer steht, wird vor allem anderen gelöst. Stufe zwei: die Potenzen und die Wurzeln. Stufe drei: die Multiplikationen und die Divisionen. Und Stufe vier, ganz zuletzt: die Additionen und die Subtraktionen. Schreib dir die Treppe auf, denn sie ändert sich nie: Klammern, Potenzen, mal und geteilt, plus und minus. Und das Wichtige ist, dass du ganz hinuntergehst: du gehst nicht zur nächsten Stufe, solange von der vorigen noch etwas übrig ist.
Warum × vor + kommt
Gehen wir zurück zu unserer Aufgabe: drei plus vier mal fünf. Was steht hier? Es gibt eine Addition und es gibt eine Multiplikation. Wir sehen auf die Treppe: die Multiplikation steht auf Stufe drei und die Addition auf Stufe vier, die Multiplikation kommt also zuerst. Vier mal fünf ist zwanzig. Und jetzt, erst jetzt, die Addition: drei plus zwanzig, dreiundzwanzig. Daher kommt die dreiundzwanzig. Und woher kam die fünfunddreißig? Davon, zuerst drei plus vier zu rechnen, sieben, und mit fünf zu multiplizieren. Das bekommst du, wenn du die Aufgabe liest, als wäre sie ein Text, von links nach rechts. Und genau das tut man nicht.
Klammern schlagen alles
Jetzt pass auf, denn hier kommt etwas, das nach einer Kleinigkeit aussieht und keine ist. Nimm dieselben Zahlen, drei, vier und fünf, mit denselben Zeichen, und setze eine Klammer um das drei plus vier. Die Klammer steht auf Stufe eins, das heißt, sie schlägt alles andere: was innen steht, wird zuerst gelöst. Drei plus vier, sieben. Und jetzt das, was draußen steht: sieben mal fünf, fünfunddreißig. Diese fünfunddreißig, die vorher falsch war, ist mit der Klammer richtig. Genau dafür ist eine Klammer da: um die Reihenfolge absichtlich zu ändern.
Gleichstand: von links nach rechts
Und jetzt der Fall, den fast niemand erklärt und der die Hälfte der Aufgaben entscheidet. Sieh dir das an: vierundzwanzig geteilt durch vier, mal zwei. Hier gibt es eine Division und eine Multiplikation, und beide stehen auf derselben Stufe, auf Stufe drei. Keine schlägt die andere. Was dann? Dann, und nur dann, geht man von links nach rechts. Die Division steht links, sie kommt also zuerst: vierundzwanzig durch vier ist sechs. Und dann sechs mal zwei, zwölf. Die Antwort ist zwölf. Hättest du zuerst die Multiplikation gerechnet, vier mal zwei acht, und vierundzwanzig durch acht, hätte es dir drei ergeben, und das wäre falsch. Und bei den Additionen und den Subtraktionen passiert genau dasselbe: gleiche Stufe, man geht von links nach rechts.
Eine lange: Klammer und Potenz
Und jetzt zu dem, wonach wirklich gefragt wird, nämlich eine lange Aufgabe. Diese hier: zwei plus drei mal, Klammer auf, acht minus fünf, Klammer zu, zum Quadrat, geteilt durch neun. Sie sieht furchterregend aus, aber sie funktioniert genauso: die Treppe hinuntergehen und EINE einzige Rechnung pro Zug lösen. Stufe eins, Klammern: acht minus fünf, drei. Und jetzt, ganz wichtig, schreibe ich die ganze Aufgabe mit dieser drei neu hin. Stufe zwei, Potenzen: drei zum Quadrat, neun. Und ich schreibe sie wieder komplett neu hin.
Dieselbe, bis zum Ende
Wir gehen die Treppe weiter hinunter. Stufe drei, mal und geteilt, und beide stehen gleich hoch, ich gehe also von links nach rechts: drei mal neun, siebenundzwanzig. Und jetzt siebenundzwanzig durch neun, drei. Mir bleibt zwei plus drei. Stufe vier, die Addition: zwei plus drei, fünf. Das Ergebnis ist fünf. Und sieh, was ich gerade gemacht habe: eine einzige Rechnung auf einmal, und nach jedem Schritt die ganze Aufgabe neu hingeschrieben. Genau das ist es, was dich bei langen Aufgaben nicht den Faden verlieren lässt.
PEMDAS und seine Falle
Und ein Wort zu den Merksprüchen, denn du wirst sie sehen und denn sie richten bei vielen Schaden an. Du hast sicher PEMDAS gehört, oder BODMAS, je nach Land. PEMDAS heißt Parentheses, Exponents, Multiplication, Division, Addition, Subtraction. Das Problem ist, dass es so gelesen aussieht, als käme die Multiplikation vor der Division und die Addition vor der Subtraktion, und das ist falsch. Multiplikation und Division sind dieselbe Stufe, und Addition und Subtraktion auch. Die Merksprüche sagen das nicht, und deshalb benutzen wir hier die Treppe mit vier Stufen: weil sie die Gleichstände zeigt, und genau dort steckt der teure Fehler.
Übung 1, Schritt für Schritt
Machen wir die erste Übung, und wir lösen sie gemeinsam, bevor wir irgendetwas anfassen. Vier plus drei mal sechs. Der erste Schritt ist nicht zu rechnen: er ist hinzusehen, welche Rechenarten da sind. Hier gibt es eine Addition und es gibt eine Multiplikation. Gehen wir zur Treppe: die Multiplikation steht auf Stufe drei, die Addition auf Stufe vier, die Multiplikation gewinnt also. Und achte auf etwas, das viele aus der Bahn wirft: die vier steht ganz links, ganz vorne geschrieben, und trotzdem muss sie warten, bis sie dran ist. Der Platz, an dem eine Zahl steht, gibt ihr überhaupt keinen Vorrang. Wir multiplizieren: drei mal sechs ist achtzehn. Und jetzt, ja, die Addition: vier plus achtzehn, zweiundzwanzig. Die Antwort ist zweiundzwanzig. Und sieh dir die Zweiundvierziger-Falle an: sie kommt davon, vier plus drei zu rechnen, sieben, und mit sechs zu multiplizieren. Es ist genau der Fehler, die Aufgabe von links nach rechts zu lesen. Ich markiere die zweiundzwanzig. Und beachte, dass die zweiundvierzig keine zufällige falsche Zahl ist: sie ist das, was herauskommt, wenn man jede Rechnung sorgfältig macht und trotzdem in der falschen Reihenfolge liest, und genau deshalb erwischt sie so viele.
Kostenlos üben
Und ich möchte, dass du dir das hier rechts genau ansiehst, denn es ist unseres und es ist kostenlos. Es ist eine Übungsseite: tutoriolab.com, schrägstrich d e, schrägstrich uebungen, schrägstrich rechenreihenfolge. Du bekommst die drei Fälle aus dem Video: ohne Klammern, mit Klammern und den mit dem Gleichstand, jedes Mal mit anderen Zahlen. Und was wirklich zählt: wenn du eine falsch hast, wirft es dir nicht einfach ein Falsch hin und lässt dich stehen, wo du warst. Es sagt dir, welchen Fehler du gemacht hast, mit Namen.
Übung 2, Schritt für Schritt
Zweite und letzte Übung, und es ist genau die mit dem Gleichstand, die du klar haben musst. Sechsunddreißig geteilt durch sechs, mal drei. Was steht da? Eine Division und eine Multiplikation, beide auf Stufe drei. Ein Gleichstand. Also von links nach rechts, und links steht die Division. Sechsunddreißig durch sechs ist sechs. Und jetzt sechs mal drei, achtzehn. Die Antwort ist achtzehn. Und sieh dir die Zweier-Falle an: sie kommt davon, zuerst sechs mal drei zu rechnen, achtzehn, und dann sechsunddreißig durch achtzehn. Es sieht vernünftig aus und es ist falsch, denn das Mal schlägt das Geteilt nicht.
Was du mitnimmst
Gehen wir durch, was du mitnehmen musst. Die Treppe: zuerst die Klammern, zweitens Potenzen und Wurzeln, drittens mal und geteilt, und viertens plus und minus. Wenn zwei Rechenarten auf derselben Stufe stehen, gibt es einen Gleichstand, und der Gleichstand wird von links nach rechts entschieden, niemals dadurch, dass man zuerst das rechnet, was einem wichtiger vorkommt. Und für lange Aufgaben der Trick, der wirklich funktioniert: eine einzige Rechnung pro Zug lösen und nach jedem Schritt die ganze Aufgabe neu hinschreiben. Übe es auf tutoriolab.com, schrägstrich d e, schrägstrich uebungen, schrägstrich rechenreihenfolge.
Wenn dir das geholfen hat, abonniere.
Häufige Fragen
Wie lautet die Rechenreihenfolge?
Zuerst die Klammern, dann Potenzen und Wurzeln, dann Multiplikation und Division, und zuletzt Addition und Subtraktion. Man geht immer von oben nach unten und wechselt nicht zur nächsten Stufe, solange von der vorigen noch etwas übrig ist.
Warum ist 3 + 4 × 5 gleich 23 und nicht 35?
Weil die Multiplikation auf einer höheren Stufe steht als die Addition: 4 × 5 = 20 kommt zuerst und dann 3 + 20 = 23. Die 35 kommt vom Lesen von links nach rechts, und genau das tut man nicht. Mit Klammer, (3 + 4) × 5, wäre die 35 richtig.
Kommt Multiplikation vor Division?
Nein. Sie stehen gleich hoch, und das ist der häufigste Fehler mit PEMDAS: das M vor dem D ist gelogen. Stehen zwei Rechenarten auf derselben Stufe, entscheidet von links nach rechts. Deshalb ist 24 ÷ 4 × 2 gleich 12 und nicht 3. Bei Addition und Subtraktion ist es genauso.
Wie löst man eine lange Aufgabe, ohne den Faden zu verlieren?
Eine einzige Rechnung pro Zug, und nach jedem Schritt die ganze Aufgabe neu hinschreiben. Das Neuhinschreiben kostet drei Sekunden und verhindert, dass dir auf halbem Weg ein Zeichen verloren geht. Für 2 + 3 × (8 − 5)² ÷ 9: Klammer, dann die Potenz, dann × und ÷ von links nach rechts, und zuletzt die Addition.
Ist PEMDAS falsch?
Nicht falsch, aber irreführend: als sechs Buchstaben gelesen suggeriert es sechs Stufen, und es sind vier. M und D sind eine Stufe, A und S eine andere. Die Treppe mit vier Stufen zeigt die Gleichstände, und genau dort passiert der teure Fehler.
Gibt es Übungen zum Trainieren?
Ja, und sie sind kostenlos: tutoriolab.com/de/uebungen/rechenreihenfolge. Du bekommst die drei Fälle aus dem Video — ohne Klammern, mit Klammern und den mit dem Gleichstand — jedes Mal mit neuen Zahlen, und wenn du eine falsch hast, sagt es dir, welchen Fehler du gemacht hast.
