Les logarithmes, de zéro et facilement
Un logarithme est une puissance regardée à l'envers : si 2³ = 8, alors log₂8 = 3. Résoudre n'importe quel logarithme, c'est donc répondre à une seule question : à quelle puissance élever la base pour obtenir le nombre de l'intérieur ? Sans base écrite, la base est 10 (le logarithme décimal) et avec les puissances de 10 il suffit de compter les zéros : log 1000 = 3, log 1 000 000 = 6. Le logarithme de 1 vaut 0 dans toute base (car b⁰ = 1) et celui de la base elle-même vaut 1 ; celui de 0 et celui d'un négatif n'existent pas. Les trois règles viennent des puissances : log a + log b = log(a·b), log a − log b = log(a÷b) et log(aⁿ) = n·log a. Et l'erreur la plus coûteuse : log(a + b) n'est PAS log a + log b.
Les logarithmes, de zéro et sans rien à apprendre par cœur.
Ce qu'un logarithme demande
Commençons par ce qui compte vraiment, parce que si tu comprends ça, le reste de la vidéo est facile. Un logarithme n'est pas une opération bizarre : c'est une puissance regardée à l'envers. Prends cette puissance : deux puissance trois, égale huit. Il y a trois morceaux là-dedans : la base, qui est le deux ; l'exposant, qui est le trois ; et le résultat, qui est le huit. Normalement on te donne la base et l'exposant et on te demande le résultat. Eh bien, un logarithme fait le contraire : il te donne la base et le résultat, et il te demande l'exposant. Log base deux de huit égale trois. Et ça se lit exactement comme ça : log base deux de huit. C'est le même calcul qu'avant, posé à l'envers.
Comment les résoudre tous
Et de là vient la façon de résoudre n'importe quel logarithme, qui tient en une seule question : à quelle puissance dois-je élever la base pour obtenir le nombre de l'intérieur ? Rien de plus. Faisons-en un : log base trois de quatre-vingt-un. Je me demande à quelle puissance j'élève le trois. Et j'essaie, ça marche très bien : trois puissance un font trois, trop peu. Trois au carré font neuf, trop peu. Trois puissance trois font vingt-sept, encore trop peu. Trois puissance quatre font quatre-vingt-un. Le voilà. Donc log base trois de quatre-vingt-un vaut quatre. Et ça marche pour tous : tu cherches toujours l'exposant.
Base 10 : compter les zéros
Maintenant, quelque chose qui embrouille beaucoup de monde au début. Parfois tu verras log écrit tout seul, sans petit nombre de base. Ce n'est pas une erreur ni une abréviation bizarre : quand aucune base n'est écrite, la base est dix, et celui-là s'appelle le logarithme décimal. Donc log de mille, sans base, veut dire log base dix de mille. À quelle puissance j'élève dix pour obtenir mille ? Dix puissance trois font mille, donc la réponse est trois. Et ici il y a un raccourci qui vaut de l'or : avec les puissances de dix, le logarithme est simplement le nombre de zéros. Log de mille, trois zéros, trois. Log d'un million, six zéros, six. Tu n'as rien à essayer : les zéros font le travail pour toi.
log 1 = 0 et autres cas
Et maintenant deux cas qui tombent à tous les examens et qui font peur sans raison. Le premier : le logarithme de un vaut toujours zéro, dans n'importe quelle base. Pourquoi ? Parce qu'un logarithme demande l'exposant, et tu sais déjà que n'importe quel nombre élevé à zéro donne un. Donc l'exposant cherché est zéro. Le deuxième : le logarithme de la base elle-même vaut un. Log base cinq de cinq vaut un, parce que cinq puissance un fait cinq. Et un avertissement : il n'y a pas de logarithme de zéro ni de nombre négatif. Aucune puissance d'un nombre positif ne donne zéro ni du négatif, cette question n'a donc pas de réponse. Si un exercice te la pose, la réponse est qu'il n'existe pas, et le dire est la bonne réponse.
La somme multiplie
Et maintenant les règles, c'est ce qu'on cherche le plus. Elles sont trois, et toutes les trois viennent des règles des puissances, il n'y a donc rien de nouveau à apprendre par cœur. La première : la somme de deux logarithmes de même base est le logarithme du produit. Autrement dit, additionner des logarithmes, c'est multiplier à l'intérieur. D'où ça vient ? Du fait que, quand on multiplie des puissances de même base, les exposants s'additionnent. Voyons-le avec des nombres. Log base deux de quatre, plus log base deux de huit. D'un côté : quatre est deux au carré, donc le premier vaut deux ; et huit est deux puissance trois, donc le deuxième vaut trois. Deux plus trois, cinq. Et de l'autre côté : quatre fois huit font trente-deux, c'est-à-dire deux puissance cinq. Cinq aussi. Ça colle.
La différence divise, l'exposant descend
La deuxième règle est la même idée à l'envers : la différence de deux logarithmes est le logarithme du quotient. Soustraire des logarithmes, c'est diviser à l'intérieur, et ça vient du fait que, quand on divise des puissances, les exposants se soustraient. Et la troisième, celle qu'on utilise le plus aux examens : le logarithme d'une puissance, c'est l'exposant qui multiplie à l'extérieur. Autrement dit, l'exposant descend. Log base deux de huit puissance quatre, c'est quatre fois log base deux de huit, c'est-à-dire quatre fois trois, douze. Donc les trois, ensemble : la somme multiplie à l'intérieur, la différence divise à l'intérieur, et l'exposant descend pour multiplier.
L'erreur la plus coûteuse
Et maintenant l'erreur dont il faut se débarrasser, parce que c'est celle qui coûte le plus cher. Beaucoup de gens, en voyant la première règle, en retiennent une idée fausse et écrivent que le logarithme d'une somme est la somme des logarithmes. Et c'est faux. La règle parle de la SOMME DE DEUX LOGARITHMES, qui devient le logarithme d'un produit. Elle ne dit rien de ce qui arrive quand la somme est à l'intérieur. Le logarithme de a plus b ne se coupe pas. Si un jour tu hésites, le remède est le même que toujours : écris les choses comme des puissances et regarde ce qui se passe.
Exercice 1, pas à pas
Faisons le premier exercice, et on va le résoudre ensemble avant de toucher à quoi que ce soit. Log base deux de trente-deux. On se pose la question habituelle : à quelle puissance dois-je élever le deux pour obtenir trente-deux ? Et on essaie, sans se presser : deux au carré font quatre, trop peu. Deux puissance trois, huit, trop peu. Deux puissance quatre, seize, trop peu. Deux puissance cinq, trente-deux. Et nous y voilà. Donc la réponse est cinq. Et regarde le piège du trente-deux : trente-deux est le nombre À L'INTÉRIEUR du logarithme, pas ce que vaut le logarithme. Confondre celui de l'intérieur avec le résultat est l'erreur la plus répétée du sujet. Je marque le cinq.
S'entraîner gratuitement
Et je veux que tu regardes bien ceci à droite, parce que c'est à nous et c'est gratuit. C'est une page d'exercices : tutoriolab.com, barre f r, barre exercices, barre logarithmes. Tu as les trois cas de la vidéo : résoudre un logarithme normal, un en base dix et un avec la règle de la somme, avec des nombres différents à chaque fois. Et ce qui compte vraiment : quand tu te trompes, il ne te balance pas un incorrect en te laissant où tu en étais. Il te dit quelle erreur tu as faite, par son nom.
Exercice 2, pas à pas
Deuxième et dernier exercice, et c'est celui de la règle. Log base deux de quatre, plus log base deux de huit. La première chose à regarder, c'est si les deux ont la même base, parce que sinon on ne peut pas les réunir. Ici les deux sont en base deux, donc oui. On applique la première règle : la somme de logarithmes est le logarithme du produit. Quatre fois huit, trente-deux. C'est donc log base deux de trente-deux, et celui-là on l'a déjà fait : il vaut cinq. Et regarde encore le piège du trente-deux : le trente-deux est ce qu'il y a à l'intérieur, et il manque l'étape de résoudre le logarithme. Tu aurais pu aussi le faire séparément : le premier vaut deux, le deuxième vaut trois, deux plus trois cinq. Le même résultat.
Ce qu'il faut retenir
Passons en revue ce qu'il faut retenir. Un : un logarithme demande l'exposant, la question est donc toujours à quelle puissance j'élève la base. Deux : s'il n'y a aucune base écrite, la base est dix, et avec les puissances de dix il suffit de compter les zéros. Trois : les règles, qui viennent toutes des puissances : la somme de logarithmes multiplie à l'intérieur, la différence divise à l'intérieur, et un exposant de l'intérieur descend multiplier à l'extérieur. Et quatre, la bouée : si tu te perds à un moment, écris le logarithme comme une puissance et ça s'éclaircit tout seul. Entraîne-toi sur tutoriolab.com, barre f r, barre exercices, barre logarithmes.
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Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'un logarithme ?
C'est une puissance posée à l'envers. Dans 2³ = 8 on te donne la base et l'exposant et on demande le résultat ; un logarithme te donne la base et le résultat et demande l'exposant : log₂8 = 3. Résoudre un logarithme, c'est répondre à "à quelle puissance élever la base pour obtenir le nombre de l'intérieur ?".
Que veut dire log sans base écrite ?
Base 10, et on l'appelle le logarithme décimal. log 1000, c'est le log base 10 de 1000, donc 3, car 10³ = 1000. Avec les puissances de 10, le logarithme est simplement le nombre de zéros.
Quelles sont les règles des logarithmes ?
Trois, et toutes viennent des règles des puissances : log a + log b = log(a·b) (additionner des logarithmes multiplie à l'intérieur), log a − log b = log(a÷b) (soustraire divise à l'intérieur) et log(aⁿ) = n · log a (l'exposant descend multiplier).
log(a + b) est-il égal à log a + log b ?
Non, et c'est l'erreur la plus coûteuse du sujet. La règle dit que la SOMME DE DEUX LOGARITHMES est le logarithme d'un produit ; elle ne dit rien d'une somme placée à l'intérieur. Le logarithme d'une somme ne se coupe pas.
Pourquoi le logarithme de 1 vaut-il 0 ?
Parce qu'un logarithme demande l'exposant, et tout nombre élevé à 0 donne 1. L'exposant cherché est donc 0, dans n'importe quelle base. Par le même raisonnement, le logarithme de la base elle-même vaut 1.
Y a-t-il des exercices pour s'entraîner ?
Oui, et ils sont gratuits : tutoriolab.com/fr/exercices/logarithmes. Tu as les trois cas de la vidéo — en résoudre un normal, un en base 10 et un avec la règle de la somme — avec de nouveaux nombres à chaque fois, et quand tu te trompes, il te dit quelle erreur tu as faite.
