Logarithmen, von null an und einfach
Ein Logarithmus ist eine Potenz von hinten betrachtet: ist 2³ = 8, dann ist log₂8 = 3. Deshalb heißt jeden Logarithmus zu lösen, eine einzige Frage zu beantworten: womit potenziere ich die Basis, damit die Zahl innen herauskommt? Steht keine Basis, ist sie 10 (der Zehnerlogarithmus), und bei Zehnerpotenzen reicht es, die Nullen zu zählen: log 1000 = 3, log 1.000.000 = 6. Der Logarithmus von 1 ist 0 in jeder Basis (weil b⁰ = 1) und der der Basis selbst ist 1; den von 0 und den von negativen Zahlen gibt es nicht. Die drei Regeln kommen aus den Potenzgesetzen: log a + log b = log(a·b), log a − log b = log(a÷b) und log(aⁿ) = n·log a. Und der teuerste Fehler: log(a + b) ist NICHT log a + log b.
Logarithmen, von null an und ohne etwas auswendig zu lernen.
Was ein Logarithmus fragt
Fangen wir mit dem an, worauf es wirklich ankommt, denn wenn du das verstehst, ist der Rest des Videos leicht. Ein Logarithmus ist keine seltsame Rechenart: er ist eine Potenz von hinten betrachtet. Nimm diese Potenz: zwei hoch drei ist gleich acht. Da stecken drei Teile drin: die Basis, das ist die zwei; der Exponent, das ist die drei; und das Ergebnis, das ist die acht. Normalerweise bekommst du die Basis und den Exponenten und sollst das Ergebnis nennen. Ein Logarithmus macht genau das Gegenteil: er gibt dir die Basis und das Ergebnis und fragt dich nach dem Exponenten. Logarithmus zur Basis zwei von acht ist gleich drei. Und genau so liest man das: Logarithmus zur Basis zwei von acht. Es ist dieselbe Rechnung wie vorher, nur rückwärts gefragt.
Wie man jeden löst
Und daraus ergibt sich, wie man jeden Logarithmus löst, und das ist eine einzige Frage: womit muss ich die Basis potenzieren, damit die Zahl innen herauskommt? Mehr nicht. Machen wir einen: Logarithmus zur Basis drei von einundachtzig. Ich frage mich, womit ich die drei potenziere. Und ich probiere, das ist völlig in Ordnung: drei hoch eins ist drei, zu wenig. Drei zum Quadrat ist neun, zu wenig. Drei hoch drei ist siebenundzwanzig, immer noch zu wenig. Drei hoch vier ist einundachtzig. Da ist er. Also ist der Logarithmus zur Basis drei von einundachtzig gleich vier. Und das funktioniert bei allen: du suchst immer den Exponenten.
Basis 10: Nullen zählen
Jetzt etwas, das am Anfang viele verwirrt. Manchmal siehst du log allein geschrieben, ohne kleine Basiszahl. Das ist kein Fehler und keine seltsame Abkürzung: wenn keine Basis geschrieben steht, ist die Basis zehn, und der heißt Zehnerlogarithmus. Log von tausend, ohne Basis, bedeutet also Logarithmus zur Basis zehn von tausend. Womit potenziere ich die zehn, damit tausend herauskommt? Zehn hoch drei ist tausend, also ist die Antwort drei. Und hier gibt es eine Abkürzung, die Gold wert ist: bei Zehnerpotenzen ist der Logarithmus einfach die Anzahl der Nullen. Log von tausend, drei Nullen, drei. Log von einer Million, sechs Nullen, sechs. Du musst gar nichts probieren: die Nullen machen die Arbeit für dich.
log 1 = 0 und andere Fälle
Und jetzt zwei Fälle, die in jeder Klassenarbeit vorkommen und die grundlos Angst machen. Der erste: der Logarithmus von eins ist immer null, in jeder Basis. Warum? Weil ein Logarithmus nach dem Exponenten fragt, und du weißt schon, dass jede Zahl hoch null eins ergibt. Der gesuchte Exponent ist also null. Der zweite: der Logarithmus der Basis selbst ist eins. Logarithmus zur Basis fünf von fünf ist eins, weil fünf hoch eins fünf ist. Und eine Warnung: es gibt keinen Logarithmus von null und keinen von einer negativen Zahl. Keine Potenz einer positiven Zahl ergibt null oder etwas Negatives, diese Frage hat also keine Antwort. Wenn eine Aufgabe danach fragt, lautet die Antwort, dass er nicht existiert, und das zu sagen ist die richtige Antwort.
Die Summe multipliziert
Und jetzt die Regeln, nach denen am meisten gesucht wird. Es sind drei, und alle drei kommen aus den Potenzgesetzen, es gibt also nichts Neues auswendig zu lernen. Die erste: die Summe zweier Logarithmen mit gleicher Basis ist der Logarithmus des Produkts. Das heißt, Logarithmen zu addieren ist innen zu multiplizieren. Woher kommt das? Daher, dass beim Multiplizieren von Potenzen gleicher Basis die Exponenten addiert werden. Sehen wir es mit Zahlen. Logarithmus zur Basis zwei von vier, plus Logarithmus zur Basis zwei von acht. Einerseits: vier ist zwei zum Quadrat, der erste ist also zwei wert; und acht ist zwei hoch drei, der zweite ist also drei wert. Zwei plus drei, fünf. Und andererseits: vier mal acht ist zweiunddreißig, und das ist zwei hoch fünf. Ebenfalls fünf. Es stimmt überein.
Differenz teilt, Exponent kommt herunter
Die zweite Regel ist dieselbe Idee andersherum: die Differenz zweier Logarithmen ist der Logarithmus des Quotienten. Logarithmen zu subtrahieren ist innen zu dividieren, und das kommt daher, dass beim Dividieren von Potenzen die Exponenten subtrahiert werden. Und die dritte, die in Klassenarbeiten am meisten benutzt wird: der Logarithmus einer Potenz ist der Exponent, der draußen multipliziert. Das heißt, der Exponent kommt herunter. Logarithmus zur Basis zwei von acht hoch vier ist vier mal Logarithmus zur Basis zwei von acht, also vier mal drei, zwölf. Alle drei zusammen also: die Summe multipliziert innen, die Differenz dividiert innen, und der Exponent kommt herunter und multipliziert.
Der teuerste Fehler
Und jetzt der Fehler, den du dir abgewöhnen musst, denn er kommt am teuersten zu stehen. Viele nehmen aus der ersten Regel den falschen Eindruck mit und schreiben, der Logarithmus einer Summe sei die Summe der Logarithmen. Und das ist falsch. Die Regel spricht von der SUMME ZWEIER LOGARITHMEN, die zum Logarithmus eines Produkts wird. Sie sagt nichts darüber, was passiert, wenn die Summe innen steht. Der Logarithmus von a plus b lässt sich nicht zerlegen. Wenn du jemals unsicher bist, ist das Mittel wie immer dasselbe: schreibe die Sache als Potenzen und sieh hin, was passiert.
Übung 1, Schritt für Schritt
Machen wir die erste Übung, und wir lösen sie gemeinsam, bevor wir irgendetwas anfassen. Logarithmus zur Basis zwei von zweiunddreißig. Wir stellen uns die übliche Frage: womit muss ich die zwei potenzieren, damit zweiunddreißig herauskommt? Und wir probieren, ganz in Ruhe: zwei zum Quadrat ist vier, zu wenig. Zwei hoch drei, acht, zu wenig. Zwei hoch vier, sechzehn, zu wenig. Zwei hoch fünf, zweiunddreißig. Und da sind wir. Die Antwort ist also fünf. Und sieh dir die Zweiunddreißiger-Falle an: zweiunddreißig ist die Zahl INNEN im Logarithmus, nicht das, was der Logarithmus wert ist. Die Zahl innen mit dem Ergebnis zu verwechseln ist der häufigste Fehler in diesem Thema. Ich markiere die fünf.
Kostenlos üben
Und ich möchte, dass du dir das hier rechts genau ansiehst, denn es ist unseres und es ist kostenlos. Es ist eine Übungsseite: tutoriolab.com, schrägstrich d e, schrägstrich uebungen, schrägstrich logarithmen. Du bekommst die drei Fälle aus dem Video: einen normalen lösen, einen mit Basis zehn und einen mit der Summenregel, jedes Mal mit anderen Zahlen. Und was wirklich zählt: wenn du eine falsch hast, wirft es dir nicht einfach ein Falsch hin und lässt dich stehen, wo du warst. Es sagt dir, welchen Fehler du gemacht hast, mit Namen.
Übung 2, Schritt für Schritt
Zweite und letzte Übung, und es ist die mit der Regel. Logarithmus zur Basis zwei von vier, plus Logarithmus zur Basis zwei von acht. Als Erstes schaut man, ob beide dieselbe Basis haben, denn sonst lassen sie sich nicht zusammenfassen. Hier sind beide zur Basis zwei, also ja. Wir wenden die erste Regel an: die Summe von Logarithmen ist der Logarithmus des Produkts. Vier mal acht, zweiunddreißig. Das ist also Logarithmus zur Basis zwei von zweiunddreißig, und den haben wir schon gemacht: er ist fünf. Und sieh dir die Zweiunddreißiger-Falle noch einmal an: die zweiunddreißig ist das, was innen steht, und der Schritt, den Logarithmus zu lösen, fehlt noch. Du hättest es auch einzeln machen können: der erste ist zwei wert, der zweite ist drei wert, zwei plus drei fünf. Dasselbe Ergebnis.
Was du mitnimmst
Gehen wir durch, was du mitnehmen musst. Erstens: ein Logarithmus fragt nach dem Exponenten, die Frage lautet also immer, womit potenziere ich die Basis. Zweitens: wenn keine Basis geschrieben steht, ist die Basis zehn, und bei Zehnerpotenzen reicht es, die Nullen zu zählen. Drittens: die Regeln, die alle aus den Potenzen kommen: die Summe von Logarithmen multipliziert innen, die Differenz dividiert innen, und ein Exponent von innen kommt herunter und multipliziert draußen. Und viertens, der Rettungsring: wenn du irgendwo den Faden verlierst, schreibe den Logarithmus als Potenz, und es klärt sich von allein. Übe es auf tutoriolab.com, schrägstrich d e, schrägstrich uebungen, schrägstrich logarithmen.
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Häufige Fragen
Was ist ein Logarithmus?
Er ist eine Potenz, rückwärts gefragt. Bei 2³ = 8 bekommst du Basis und Exponent und sollst das Ergebnis nennen; ein Logarithmus gibt dir Basis und Ergebnis und fragt nach dem Exponenten: log₂8 = 3. Jeden Logarithmus zu lösen heißt, die Frage zu beantworten: "womit potenziere ich die Basis, damit die Zahl innen herauskommt?".
Was bedeutet log ohne geschriebene Basis?
Basis 10, und das heißt Zehnerlogarithmus. log 1000 ist der Logarithmus zur Basis 10 von 1000, also 3, weil 10³ = 1000. Bei Zehnerpotenzen ist der Logarithmus einfach die Anzahl der Nullen.
Welche Regeln gelten für Logarithmen?
Drei, und alle drei kommen aus den Potenzgesetzen: log a + log b = log(a·b) (Logarithmen addieren multipliziert innen), log a − log b = log(a÷b) (subtrahieren dividiert innen) und log(aⁿ) = n · log a (der Exponent kommt herunter und multipliziert).
Ist log(a + b) dasselbe wie log a + log b?
Nein, und das ist der teuerste Fehler in diesem Thema. Die Regel sagt, dass die SUMME ZWEIER LOGARITHMEN der Logarithmus eines Produkts ist; über eine Summe, die innen steht, sagt sie nichts. Der Logarithmus einer Summe lässt sich nicht zerlegen.
Warum ist der Logarithmus von 1 gleich 0?
Weil ein Logarithmus nach dem Exponenten fragt und jede Zahl hoch 0 eins ergibt. Der gesuchte Exponent ist also 0, in jeder Basis. Mit derselben Überlegung ist der Logarithmus der Basis selbst gleich 1.
Gibt es Übungen zum Trainieren?
Ja, und sie sind kostenlos: tutoriolab.com/de/uebungen/logarithmen. Du bekommst die drei Fälle aus dem Video — einen normalen lösen, einen mit Basis 10 und einen mit der Summenregel — jedes Mal mit neuen Zahlen, und wenn du eine falsch hast, sagt es dir, welchen Fehler du gemacht hast.
