La règle des signes, de zéro
Il y a DEUX règles des signes, pas une, et les confondre est l'erreur qui fait rater la moitié des exercices sur les relatifs. Pour ADDITIONNER ET SOUSTRAIRE : si les deux nombres ont le même signe on additionne les valeurs et on garde ce signe (−3 + (−5) = −8) ; s'ils ont des signes différents on les soustrait et le signe du plus grand en valeur absolue l'emporte (−9 + 4 = −5). Pour MULTIPLIER ET DIVISER — et seulement pour ça — vaut la fameuse règle : signes identiques donnent positif, signes différents donnent négatif ((−6) × (−4) = 24). Moins par moins donne plus parce que c'est la seule façon de garder le motif de la table du −3. Et quand deux signes se suivent, ils fusionnent d'abord : 5 − (−3) = 5 + 3 = 8. La première chose est toujours de regarder QUELLE OPÉRATION c'est, parce que c'est ça qui décide la règle.
La règle des signes, et pourquoi il y en a vraiment deux.
Ce que sont les nombres relatifs
Commençons par les bases, ça prend trente secondes et c'est nécessaire. Les nombres relatifs, ce sont les nombres de tous les jours — un, deux, trois — plus le zéro, plus les négatifs : moins un, moins deux, moins trois. Sans virgule et sans fractions : des entiers. Et la façon la plus utile de les voir, c'est une droite : le zéro au milieu, les positifs à droite et les négatifs à gauche. Plus on va vers la gauche, plus le nombre est petit, même si le chiffre a l'air grand. Et ce n'est pas une invention scolaire : les négatifs, ce sont des dettes, des températures sous zéro et les étages d'un sous-sol. Partout où tu peux dépasser un.de départ naturel et continuer, tu en as besoin.
Il y a DEUX règles, pas une
Et maintenant le plus important de cette vidéo, et je le dis avant tout le reste parce que c'est ce qu'on rate le plus. Quand quelqu'un dit la règle des signes, il pense presque toujours à ce truc de moins par moins donne plus. Mais cette règle ne vaut que pour multiplier et diviser. Pour additionner et soustraire il y a une AUTRE règle, différente, et elles ne se ressemblent pas. Il y a donc deux règles des signes, pas une, et les confondre est, de très loin, l'erreur numéro un dans tous les exercices sur les relatifs. Un exemple de ce qui arrive quand on les mélange : moins trois plus moins cinq. Beaucoup de gens pensent moins par moins, plus, et répondent huit. Et ça fait moins huit. Regardons ça correctement.
Additionner : même signe
On commence par la règle pour additionner et soustraire, qui se divise en deux cas. Premier cas : les deux nombres ont le même signe. Alors on additionne les valeurs et le résultat garde ce même signe. Moins trois plus moins cinq : les deux sont négatifs, donc j'additionne trois plus cinq, huit, et le résultat est moins huit. Et avec des positifs c'est l'habitude : quatre plus sept, onze. La façon de s'en souvenir sans rien apprendre par cœur, c'est de penser en dettes : si tu dois trois et que tu dois aussi cinq, tu ne dois pas moins, tu dois huit. Deux dettes ensemble font une dette plus grande. Personne qui doit trois euros et qui en doit cinq de plus ne finit par en devoir deux, et c'est exactement l'arithmétique ici.
Additionner : signes différents
Deuxième cas, et c'est celui où l'on bloque le plus : les deux nombres ont des signes différents. Alors on ne les additionne PAS : on les soustrait. Et le résultat garde le signe du plus grand en valeur absolue, c'est-à-dire de celui dont le chiffre est plus grand sans regarder le signe. Faisons un exemple : moins neuf plus quatre. Signes différents, donc je soustrais : neuf moins quatre, cinq. Et quel signe je lui mets ? Je regarde lequel est plus grand sans le signe : le neuf. Et le neuf était le négatif. Donc le résultat est moins cinq. Encore avec des dettes : si tu dois neuf et qu'on te paie quatre, tu dois encore cinq. Le quatre n'a pas effacé la dette, il l'a seulement rendue plus petite, et c'est pour ça que le signe reste négatif.
Multiplier : la fameuse règle
Et maintenant, oui, la fameuse règle des signes, celle pour multiplier et diviser. Et je le répète, parce que c'est la clé de cette vidéo : cette règle ne vaut que pour multiplier et diviser. Elle dit ceci : si les deux signes sont identiques, le résultat est positif. S'ils sont différents, le résultat est négatif. Les quatre cas, les voici : plus par plus, plus. Moins par moins, plus. Plus par moins, moins. Et moins par plus, moins. Un exemple : moins six fois moins quatre. Signes identiques, donc le résultat est positif : six fois quatre, vingt-quatre.
Pourquoi (−)·(−) donne +
Et voici la question à laquelle presque personne ne répond : pourquoi moins par moins donne-t-il plus ? Ce n'est pas un caprice, et ça se voit avec une table. Regarde : moins trois fois trois font moins neuf. Moins trois fois deux font moins six. Moins trois fois un font moins trois. Tu vois ce qui se passe ? Chaque fois que je descends de un dans le deuxième facteur, le résultat monte de trois. Continuons : moins trois fois zéro font zéro. Et le suivant, en suivant le même motif, doit faire plus trois. Et celui-là, c'est moins trois fois moins un. Donc moins par moins donne plus parce que c'est la seule façon que le motif continue de fonctionner. Personne ne l'a décidé : c'est le reste de l'arithmétique qui l'impose.
Le double signe
Et il reste le cas des parenthèses, c'est ce qu'on demande le plus après la règle. Quand tu tombes sur deux signes à la suite, la première chose que tu fais, c'est de les fusionner en un seul, et c'est là que la règle des signes sert vraiment. Un moins devant un moins devient un plus. Un plus devant un moins devient un moins. Exemple : cinq moins, ouvre la parenthèse, moins trois. Les deux signes moins fusionnent et donnent un plus : cinq plus trois, huit. Et avec les dettes ça s'explique tout seul : si on t'enlève une dette de trois, tu as gagné trois. Et attention à l'ordre : d'abord on fusionne les signes, et seulement ensuite on additionne avec la règle de l'addition.
Exercice 1, pas à pas
Faisons le premier exercice, et on va le résoudre ensemble avant de toucher à quoi que ce soit. Moins sept plus, entre parenthèses, moins cinq. D'abord, et c'est ce qu'il faut toujours faire : regarde quelle opération c'est. Ici le signe du milieu est un plus, donc c'est une ADDITION, et pour additionner c'est la règle de l'addition qui commande, pas celle de la multiplication. Deuxièmement : quels signes ont-ils ? Les deux sont négatifs, c'est le même signe. Et avec le même signe on additionne les valeurs : sept plus cinq, douze. Et le résultat reste négatif : moins douze. Et regarde le piège du plus douze : il vient d'appliquer ici la règle de la multiplication, qui ne s'applique pas. Je marque le moins douze.
S'entraîner gratuitement
Et je veux que tu regardes bien ceci à droite, parce que c'est à nous et c'est gratuit. C'est une page d'exercices : tutoriolab.com, barre f r, barre exercices, barre nombres relatifs. Tu as les trois cas de la vidéo : additionner avec des signes, multiplier avec des signes et le double signe, avec des nombres différents à chaque fois. Et ce qui compte vraiment : quand tu te trompes, il ne te balance pas un incorrect en te laissant où tu en étais. Il te dit quelle erreur tu as faite, par son nom.
Exercice 2, pas à pas
Deuxième et dernier exercice, et c'est exactement l'autre cas pour que tu voies la différence. Moins six, fois, moins quatre. D'abord l'habitude : quelle opération c'est ? Le signe du milieu est un fois, donc c'est une multiplication, et ici c'est la règle des signes qui commande. Les deux sont négatifs, ce sont des signes identiques, donc le résultat est positif. Six fois quatre, vingt-quatre. La réponse est vingt-quatre, positif. Et maintenant compare-le avec l'exercice précédent, c'est ce que je veux que tu retiennes : avec les mêmes signes, moins six PLUS moins quatre donnerait moins dix, et moins six FOIS moins quatre donne plus vingt-quatre. Les mêmes signes et des résultats de signe opposé, parce que ce sont deux règles différentes.
Ce qu'il faut retenir
Passons en revue ce qu'il faut retenir. Pour additionner et soustraire : si les signes sont identiques on additionne les valeurs et on garde ce signe ; s'ils sont différents on les soustrait et le signe du plus grand l'emporte. Pour multiplier et diviser : signes identiques donnent positif, signes différents donnent négatif. Quand il y a deux signes à la suite, ils fusionnent d'abord en un seul. Et le plus important de tout, celui qui décide si tu as juste : avant de regarder les signes, regarde quelle opération c'est, parce que c'est ça qui te dit quelle règle s'applique. Entraîne-toi sur tutoriolab.com, barre f r, barre exercices, barre nombres relatifs.
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Questions fréquentes
Quelles sont les règles des signes pour les nombres relatifs ?
Il y en a deux. Pour additionner et soustraire : même signe, on additionne les valeurs et on garde ce signe ; signes différents, on les soustrait et le signe du plus grand l'emporte. Pour multiplier et diviser : signes identiques donnent positif, signes différents donnent négatif. Ce sont des règles différentes et les confondre est l'erreur la plus fréquente.
Pourquoi −3 + (−5) fait-il −8 et pas +8 ?
Parce que c'est une addition, pas une multiplication. La règle moins par moins donne plus ne vaut que pour multiplier et diviser. Deux négatifs additionnés donnent un négatif plus grand : si tu dois 3 et que tu dois 5, tu dois 8.
Pourquoi un négatif fois un négatif donne-t-il un positif ?
Regarde la table du −3 : (−3)×3 = −9, (−3)×2 = −6, (−3)×1 = −3, (−3)×0 = 0. Chaque étape monte de 3, donc la suivante doit faire +3, et celle-là c'est (−3)×(−1). C'est la seule façon que le motif continue.
Que fait-on avec deux signes à la suite, comme 5 − (−3) ?
On les fusionne d'abord en un seul, et là la règle des signes s'applique bel et bien : un moins devant un moins donne un plus, donc 5 − (−3) = 5 + 3 = 8. Enlever une dette, c'est gagner. Ce n'est qu'après la fusion qu'on additionne avec la règle de l'addition.
Comment savoir quelle règle utiliser ?
Regarde l'opération avant de regarder les signes. Si le signe du milieu est un + ou un −, c'est la règle de l'addition. Si c'est un × ou un ÷, c'est la fameuse règle des signes. Avec les mêmes nombres : −6 + (−4) = −10 et (−6) × (−4) = +24.
Y a-t-il des exercices pour s'entraîner ?
Oui, et ils sont gratuits : tutoriolab.com/fr/exercices/nombres-relatifs. Tu as les trois cas de la vidéo — additionner avec des signes, multiplier avec des signes et le double signe — avec de nouveaux nombres à chaque fois, et quand tu te trompes, il te dit quelle erreur tu as faite.
