Die Vorzeichenregeln, von null an
Es gibt ZWEI Vorzeichenregeln, nicht eine, und sie zu verwechseln ist der Fehler, an dem die Hälfte der Aufgaben mit ganzen Zahlen scheitert. FÜRS ADDIEREN UND SUBTRAHIEREN: haben die beiden Zahlen dasselbe Vorzeichen, werden die Werte addiert und es behält dieses Vorzeichen (−3 + (−5) = −8); haben sie verschiedene, werden sie subtrahiert und das Vorzeichen der dem Betrag nach größeren gewinnt (−9 + 4 = −5). FÜRS MULTIPLIZIEREN UND DIVIDIEREN — und nur dafür — gilt die berühmte Regel: gleiche Vorzeichen ergeben plus, verschiedene ergeben minus ((−6) × (−4) = 24). Minus mal minus ergibt plus, weil nur so das Muster der −3-Reihe erhalten bleibt. Und stehen zwei Zeichen hintereinander, verschmelzen sie zuerst: 5 − (−3) = 5 + 3 = 8. Das Erste ist immer, nachzusehen, WELCHE RECHENART es ist, denn das entscheidet, welche Regel gilt.
Die Vorzeichenregeln, und warum es in Wirklichkeit zwei sind.
Was die ganzen Zahlen sind
Fangen wir mit den Grundlagen an, das dauert dreißig Sekunden und wird gebraucht. Die ganzen Zahlen sind die alltäglichen Zahlen — eins, zwei, drei — dazu die Null und dazu die negativen: minus eins, minus zwei, minus drei. Keine Kommazahlen und keine Brüche: ganze Zahlen. Und am nützlichsten sieht man sie als Linie: die Null in der Mitte, die positiven rechts und die negativen links. Je weiter links, desto kleiner die Zahl, auch wenn die Ziffer groß aussieht. Und das ist keine Erfindung für den Unterricht: negative Zahlen sind Schulden, Temperaturen unter null und die Etagen eines Kellers. Überall, wo man über einen natürlichen Nullpunkt hinausgehen und weitermachen kann, braucht man sie.
Es sind ZWEI Regeln, nicht eine
Und jetzt das Wichtigste in diesem Video, und ich sage es vor allem anderen, weil es das ist, was am meisten schiefgeht. Wenn jemand die Vorzeichenregel sagt, denkt er fast immer an das mit minus mal minus gleich plus. Aber diese Regel gilt nur fürs Multiplizieren und Dividieren. Fürs Addieren und Subtrahieren gibt es eine ANDERE Regel, eine andere, und sie ähneln sich nicht. Es gibt also zwei Vorzeichenregeln, nicht eine, und sie zu verwechseln ist mit Abstand Fehler Nummer eins in jeder Aufgabe mit ganzen Zahlen. Ein Beispiel dafür, was passiert, wenn man sie verwechselt: minus drei plus minus fünf. Viele denken minus mal minus, plus, und antworten acht. Und es ist minus acht. Sehen wir es uns richtig an.
Addieren: gleiches Vorzeichen
Wir beginnen mit der Regel fürs Addieren und Subtrahieren, die sich in zwei Fälle teilt. Erster Fall: die beiden Zahlen haben dasselbe Vorzeichen. Dann werden die Werte addiert und das Ergebnis behält genau dieses Vorzeichen. Minus drei plus minus fünf: beide sind negativ, ich addiere also drei plus fünf, acht, und das Ergebnis ist minus acht. Und mit positiven Zahlen ist es das Gewohnte: vier plus sieben, elf. Um es sich zu merken, ohne etwas auswendig zu lernen, denkt man in Schulden: wenn du drei schuldest und außerdem fünf schuldest, schuldest du nicht weniger, du schuldest acht. Zwei Schulden zusammen ergeben eine größere Schuld. Niemand, der drei Euro schuldet und dann fünf weitere, schuldet am Ende zwei, und genau das ist hier die Rechnung.
Addieren: verschiedene Vorzeichen
Zweiter Fall, und an dem bleiben die meisten hängen: die beiden Zahlen haben verschiedene Vorzeichen. Dann werden sie NICHT addiert: sie werden subtrahiert. Und das Ergebnis behält das Vorzeichen der größeren dem Betrag nach, also derjenigen mit der größeren Ziffer, ohne aufs Vorzeichen zu sehen. Machen wir ein Beispiel: minus neun plus vier. Verschiedene Vorzeichen, ich subtrahiere also: neun minus vier, fünf. Und welches Vorzeichen setze ich davor? Ich sehe nach, welche ohne Vorzeichen größer ist: die neun. Und die neun war die negative. Das Ergebnis ist also minus fünf. Wieder mit Schulden: wenn du neun schuldest und man dir vier zahlt, schuldest du immer noch fünf. Die vier hat die Schuld nicht getilgt, sie hat sie nur kleiner gemacht, und deshalb bleibt das Vorzeichen negativ.
Multiplizieren: die berühmte Regel
Und jetzt, ja, die berühmte Vorzeichenregel, die fürs Multiplizieren und Dividieren. Und ich wiederhole es, denn es ist der Schlüssel dieses Videos: diese Regel gilt nur fürs Multiplizieren und Dividieren. Sie geht so: wenn die beiden Vorzeichen gleich sind, ist das Ergebnis positiv. Sind sie verschieden, ist das Ergebnis negativ. Die vier Fälle, und die sind diese: plus mal plus, plus. Minus mal minus, plus. Plus mal minus, minus. Und minus mal plus, minus. Ein Beispiel: minus sechs mal minus vier. Gleiche Vorzeichen, das Ergebnis ist also positiv: sechs mal vier, vierundzwanzig.
Warum (−)·(−) plus ergibt
Und jetzt kommt die Frage, die fast niemand beantwortet: warum ergibt minus mal minus ein plus? Es ist keine Laune, und man sieht es an einer Reihe. Schau: minus drei mal drei ist minus neun. Minus drei mal zwei ist minus sechs. Minus drei mal eins ist minus drei. Siehst du, was passiert? Jedes Mal, wenn ich beim zweiten Faktor um eins heruntergehe, geht das Ergebnis um drei hinauf. Machen wir weiter: minus drei mal null ist null. Und das nächste muss, nach demselben Muster, plus drei sein. Und das ist minus drei mal minus eins. Minus mal minus ergibt also plus, weil das die einzige Möglichkeit ist, damit das Muster weiter funktioniert. Niemand hat das beschlossen: der Rest der Rechnerei erzwingt es.
Das doppelte Vorzeichen
Und es bleibt der Fall der Klammern, wonach nach der Regel am meisten gefragt wird. Wenn du zwei Zeichen hintereinander antriffst, machst du als Erstes eines daraus, und genau dort wird die Vorzeichenregel doch benutzt. Ein Minus vor einem Minus wird zu einem Plus. Ein Plus vor einem Minus wird zu einem Minus. Beispiel: fünf minus, Klammer auf, minus drei. Die beiden Minuszeichen verschmelzen und ergeben ein Plus: fünf plus drei, acht. Und mit Schulden erklärt es sich von selbst: wenn dir eine Schuld von drei erlassen wird, hast du drei gewonnen. Und achte auf die Reihenfolge: zuerst verschmelzen die Zeichen, und erst dann addierst du mit der Additionsregel.
Übung 1, Schritt für Schritt
Machen wir die erste Übung, und wir lösen sie gemeinsam, bevor wir irgendetwas anfassen. Minus sieben plus, in Klammern, minus fünf. Zuerst, und das musst du immer tun: sieh nach, welche Rechenart es ist. Hier ist das Zeichen in der Mitte ein Plus, es ist also eine ADDITION, und fürs Addieren ist die Additionsregel zuständig, nicht die fürs Multiplizieren. Zweitens: welche Vorzeichen haben sie? Beide sind negativ, das ist dasselbe Vorzeichen. Und bei gleichem Vorzeichen werden die Werte addiert: sieben plus fünf, zwölf. Und das Ergebnis bleibt negativ: minus zwölf. Und sieh dir die Plus-zwölf-Falle an: sie kommt davon, hier die Multiplikationsregel anzuwenden, die hier nicht gilt. Ich markiere die minus zwölf.
Kostenlos üben
Und ich möchte, dass du dir das hier rechts genau ansiehst, denn es ist unseres und es ist kostenlos. Es ist eine Übungsseite: tutoriolab.com, schrägstrich d e, schrägstrich uebungen, schrägstrich vorzeichenregeln. Du bekommst die drei Fälle aus dem Video: Addieren mit Vorzeichen, Multiplizieren mit Vorzeichen und das doppelte Vorzeichen, jedes Mal mit anderen Zahlen. Und was wirklich zählt: wenn du eine falsch hast, wirft es dir nicht einfach ein Falsch hin und lässt dich stehen, wo du warst. Es sagt dir, welchen Fehler du gemacht hast, mit Namen.
Übung 2, Schritt für Schritt
Zweite und letzte Übung, und es ist genau der andere Fall, damit du den Unterschied siehst. Minus sechs, mal, minus vier. Zuerst das Gewohnte: welche Rechenart ist das? Das Zeichen in der Mitte ist ein Mal, es ist also eine Multiplikation, und hier ist die Vorzeichenregel zuständig. Beide sind negativ, das sind gleiche Vorzeichen, das Ergebnis ist also positiv. Sechs mal vier, vierundzwanzig. Die Antwort ist vierundzwanzig, positiv. Und jetzt vergleiche es mit der vorigen Übung, und das ist es, was du mitnehmen sollst: bei gleichen Vorzeichen ergäbe minus sechs PLUS minus vier gleich minus zehn, und minus sechs MAL minus vier ergibt plus vierundzwanzig. Dieselben Vorzeichen und Ergebnisse mit entgegengesetztem Vorzeichen, weil es zwei verschiedene Regeln sind.
Was du mitnimmst
Gehen wir durch, was du mitnehmen musst. Fürs Addieren und Subtrahieren: sind die Vorzeichen gleich, werden die Werte addiert und es behält dieses Vorzeichen; sind sie verschieden, werden sie subtrahiert und das Vorzeichen der größeren gewinnt. Fürs Multiplizieren und Dividieren: gleiche Vorzeichen ergeben positiv, verschiedene Vorzeichen ergeben negativ. Stehen zwei Zeichen hintereinander, verschmelzen sie zuerst zu einem. Und das Allerwichtigste, das darüber entscheidet, ob du richtig liegst: bevor du auf die Vorzeichen siehst, sieh nach, welche Rechenart es ist, denn das sagt dir, welche Regel gilt. Übe es auf tutoriolab.com, schrägstrich d e, schrägstrich uebungen, schrägstrich vorzeichenregeln.
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Häufige Fragen
Wie lauten die Vorzeichenregeln für ganze Zahlen?
Es sind zwei. Fürs Addieren und Subtrahieren: gleiches Vorzeichen, Werte addieren und dieses Vorzeichen behalten; verschiedene Vorzeichen, subtrahieren, und das Vorzeichen der größeren gewinnt. Fürs Multiplizieren und Dividieren: gleiche Vorzeichen ergeben plus, verschiedene ergeben minus. Es sind verschiedene Regeln, und sie zu verwechseln ist der häufigste Fehler.
Warum ist −3 + (−5) gleich −8 und nicht +8?
Weil das eine Addition ist und keine Multiplikation. Die Regel minus mal minus gleich plus gilt nur fürs Multiplizieren und Dividieren. Zwei negative Zahlen addiert ergeben eine größere negative: wenn du 3 schuldest und 5 schuldest, schuldest du 8.
Warum ergibt minus mal minus ein plus?
Sieh dir die −3-Reihe an: (−3)×3 = −9, (−3)×2 = −6, (−3)×1 = −3, (−3)×0 = 0. Jeder Schritt geht um 3 hinauf, das nächste muss also +3 sein, und das ist (−3)×(−1). Nur so bleibt das Muster erhalten.
Was macht man mit zwei Zeichen hintereinander, wie bei 5 − (−3)?
Man macht zuerst eines daraus, und dort gilt die Vorzeichenregel sehr wohl: ein Minus vor einem Minus ergibt ein Plus, also 5 − (−3) = 5 + 3 = 8. Eine Schuld wegzunehmen ist gewinnen. Erst nach dem Verschmelzen addiert man mit der Additionsregel.
Woran erkenne ich, welche Regel gilt?
Sieh auf die Rechenart, bevor du auf die Vorzeichen siehst. Ist das Zeichen in der Mitte ein + oder ein −, gilt die Additionsregel. Ist es ein × oder ein ÷, gilt die berühmte Vorzeichenregel. Mit denselben Zahlen: −6 + (−4) = −10 und (−6) × (−4) = +24.
Gibt es Übungen zum Trainieren?
Ja, und sie sind kostenlos: tutoriolab.com/de/uebungen/vorzeichenregeln. Du bekommst die drei Fälle aus dem Video — Addieren mit Vorzeichen, Multiplizieren mit Vorzeichen und das doppelte Vorzeichen — jedes Mal mit neuen Zahlen, und wenn du eine falsch hast, sagt es dir, welchen Fehler du gemacht hast.
