Les règles des puissances, de zéro
Les trois règles des puissances de même base viennent toutes du comptage des facteurs. En MULTIPLIANT, les exposants s'additionnent (2³ × 2⁴ = 2⁷, parce qu'il y a 3 + 4 = 7 deux). En DIVISANT, ils se soustraient, celui du haut moins celui du bas (3⁵ ÷ 3² = 3³, parce que deux trois se simplifient). Et dans une PUISSANCE DE PUISSANCE, ils se multiplient ((2³)⁴ = 2¹², parce que c'est 2³ répété 4 fois et 3+3+3+3 = 3×4). Aussi : tout nombre puissance 0 vaut 1, un exposant négatif veut dire diviser (2⁻³ = 1/8), et en base 10 l'exposant est le nombre de zéros (10⁶ = un million). En cas de doute, tout écrire et compter.
Les règles des puissances, de zéro et sans rien à apprendre par cœur.
Ce qu'est une puissance
Commençons par le tout début, parce que je ne veux rien supposer. Une puissance est une façon courte d'écrire la multiplication d'un nombre par lui-même. Deux puissance trois veut dire deux fois deux fois deux, ce qui fait huit. Ce gros deux en bas s'appelle la base, et c'est le nombre qui se répète. Et le petit trois en haut s'appelle l'exposant, et il dit combien de fois il se répète. Et maintenant l'erreur la plus fréquente de tout le sujet, celle que je veux t'enlever du chemin tout de suite : deux puissance trois n'est pas deux fois trois. Ça ne fait pas six. Ça fait huit. L'exposant ne multiplie pas la base : il compte.
Multiplier : elles s'additionnent
Maintenant la première règle, celle pour multiplier deux puissances qui ont la même base. Je vais la développer pour que tu voies d'où elle vient et que tu n'aies pas à l'apprendre par cœur. On a deux puissance trois fois deux puissance quatre. Deux puissance trois, c'est deux fois deux fois deux. Et deux puissance quatre, c'est deux fois deux fois deux fois deux. Si on écrit tout à la suite, ce qu'on a c'est une multiplication de deux. Combien y a-t-il de deux en tout ? Trois du premier et quatre du deuxième : sept. Donc le résultat est deux puissance sept. Et voilà la règle : quand on multiplie des puissances de même base, les exposants s'additionnent. Trois plus quatre, sept. Et tu peux le vérifier avec des nombres : huit fois seize font cent vingt-huit, c'est-à-dire deux puissance sept.
Diviser : elles se soustraient
Deuxième règle, celle pour diviser, et elle vient du même endroit. On a trois puissance cinq divisé par trois au carré. On le développe pareil : en haut il y a cinq trois qui se multiplient, et en bas il y a deux trois. Et quand tu as le même nombre en haut et en bas dans une fraction, ça se simplifie, parce que trois divisé par trois fait un. On simplifie deux trois du haut avec les deux du bas. Combien reste-t-il de trois en haut ? Cinq moins deux, trois. Donc le résultat est trois puissance trois. Et voilà la deuxième règle : quand on divise des puissances de même base, les exposants se soustraient. Et attention à l'ordre, c'est celui du haut moins celui du bas, jamais l'inverse.
Puissance de puissance : multiplier
Et la troisième, celle qu'on confond le plus : une puissance élevée à une autre puissance. Deux puissance trois, le tout élevé à la puissance quatre. Ce que dit ce quatre à l'extérieur, c'est qu'il faut répéter quatre fois ce qu'il y a dans la parenthèse. C'est-à-dire : deux puissance trois, fois deux puissance trois, fois deux puissance trois, fois deux puissance trois. Quatre fois. Et ça, on sait déjà le résoudre avec la première règle, parce que ce sont des puissances de même base qui se multiplient : on additionne les exposants. Trois plus trois plus trois plus trois. Et additionner le trois quatre fois, c'est la même chose que multiplier trois par quatre : douze. C'est pour ça que, dans une puissance de puissance, les exposants se multiplient.
Les trois ensemble
Et maintenant je veux que tu voies les trois ensemble, parce que séparément elles ont l'air de trois règles arbitraires à retenir, et ensemble on voit que c'est la même idée. Multiplier des puissances de même base : les exposants s'additionnent. Les diviser : ils se soustraient. Et une puissance élevée à une autre : ils se multiplient. Addition, soustraction, multiplication. Confondre laquelle va avec quoi est, de très loin, l'erreur la plus fréquente du sujet, et c'est pour ça que je te les montre côte à côte. Et si un jour tu hésites, n'essaie pas de te souvenir : développe la puissance en facteurs et compte combien il y en a. La règle sort toute seule.
Exercice 1, pas à pas
Faisons le premier exercice, et on va le résoudre ensemble avant de toucher à quoi que ce soit. Deux puissance trois fois deux puissance quatre, et on demande l'exposant si on l'écrit comme une seule puissance. D'abord on regarde la base : les deux sont deux, c'est la même base, et c'est ce qu'il faut pour pouvoir appliquer la règle. Et l'opération est une multiplication, il faut donc additionner les exposants. Trois plus quatre, sept. La réponse est sept. Et on vérifie avec des nombres au cas où : deux puissance trois font huit, deux puissance quatre font seize, huit fois seize font cent vingt-huit, et deux puissance sept font aussi cent vingt-huit. Ça colle. Et regarde le piège du douze : le douze vient de multiplier trois par quatre, ce qui est la règle de la parenthèse, pas celle pour multiplier deux puissances. Je marque le sept.
S'entraîner gratuitement
Et je veux que tu regardes bien ceci à droite, parce que c'est à nous et c'est gratuit. C'est une page d'exercices : tutoriolab.com, barre f r, barre exercices, barre puissances. Chaque fois que tu y vas tu as des puissances différentes, tu peux donc t'entraîner autant que tu veux sans que ça se répète. Et ce qui compte vraiment : quand tu te trompes, il ne te balance pas un incorrect en te laissant où tu en étais. Il te dit quelle erreur tu as faite, par son nom, et il te montre le calcul fait.
Exercice 2, pas à pas
Deuxième et dernier exercice, et c'est exactement l'autre cas pour que tu voies la différence. Deux puissance trois, entre parenthèses, élevé à la puissance quatre. Ici il n'y a pas deux puissances qui se multiplient : il y a une puissance dans la parenthèse et un autre exposant à l'extérieur. La règle qui s'applique est donc la troisième : les exposants se multiplient. Trois fois quatre, douze. La réponse est douze. Et on vérifie : deux puissance trois font huit, et huit élevé à la puissance quatre font quatre mille quatre-vingt-seize ; deux puissance douze font aussi quatre mille quatre-vingt-seize. Ça colle. Et ici le piège, c'est le sept, qui est la réponse de l'exercice précédent : il vient d'additionner au lieu de multiplier. C'est exactement l'erreur que je voulais te montrer, avec les deux exercices l'un derrière l'autre.
Exposant zéro et négatif
Et il reste deux cas qui reviennent beaucoup et qui font généralement peur sans raison. Le premier : n'importe quel nombre élevé à zéro donne un. Pas zéro : un. Et ça s'explique très simplement avec ce qu'on vient d'apprendre. Prends deux puissance trois divisé par deux puissance trois. Par la règle de la division, les exposants se soustraient : trois moins trois, zéro. Ça donne donc deux puissance zéro. Mais d'un autre côté, huit divisé par huit fait un, évidemment. Les deux chemins doivent donner la même chose, donc deux puissance zéro fait un. Le deuxième cas : un exposant négatif ne veut pas dire que le résultat est négatif. Ça veut dire qu'il divise. Deux puissance moins trois, c'est un divisé par deux puissance trois, c'est-à-dire un sur huit.
Les puissances de 10
Et un dernier raccourci qui vaut le coup, parce qu'il sert tout le temps : les puissances de base dix. Dix puissance trois, c'est dix fois dix fois dix, mille. Et remarque ce qui se passe : l'exposant te dit exactement combien de zéros a le nombre. Dix puissance trois, trois zéros : mille. Dix puissance six, six zéros : un million. C'est pour ça que tu verras les grandes quantités écrites comme ça, avec des puissances de dix, au lieu de compter les zéros à l'œil. Ça t'évite des erreurs et ça te fait gagner du temps quand les nombres deviennent grands.
Les trois règles
Passons en revue les trois règles, c'est ce qu'il faut retenir. Quand on multiplie des puissances de même base, les exposants s'additionnent. Quand on les divise, ils se soustraient, et toujours celui du haut moins celui du bas. Et quand il y a une puissance élevée à une autre puissance, ils se multiplient. Et la quatrième, qui n'est pas une règle mais une bouée : si tu hésites sur celle qui s'applique, développe la puissance en facteurs et compte combien il y en a. Ça ne rate jamais. Entraîne-toi sur tutoriolab.com, barre f r, barre exercices, barre puissances.
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Questions fréquentes
Quelles sont les règles des puissances ?
Avec la même base : en multipliant les exposants s'additionnent (aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ), en divisant ils se soustraient (aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ) et dans une puissance de puissance ils se multiplient ((aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ). Les trois viennent du fait de compter combien il y a de facteurs.
Pourquoi additionne-t-on les exposants quand on multiplie ?
Parce que 2³ ce sont trois deux et 2⁴ ce sont quatre deux ; en les multipliant tu as sept deux à la suite, c'est-à-dire 2⁷. Il n'y a rien à apprendre par cœur : on compte. Et tu peux vérifier : 8 × 16 = 128 = 2⁷.
2³ est-il la même chose que 2 × 3 ?
Non, et c'est l'erreur la plus fréquente du sujet. 2 × 3 font 6 ; 2³ c'est 2 × 2 × 2, donc 8. L'exposant ne multiplie pas la base : il dit combien de fois elle se répète.
Pourquoi tout nombre puissance zéro vaut-il 1 ?
Parce que 2³ ÷ 2³ vaut, par la règle de la division, 2³⁻³ = 2⁰ ; et d'un autre côté 8 ÷ 8 = 1. Les deux chemins doivent donner la même chose, donc 2⁰ = 1. C'est valable pour toute base autre que zéro.
Que veut dire un exposant négatif ?
Qu'il divise, pas que le résultat est négatif. 2⁻³ = 1 ÷ 2³ = 1/8 = 0,125. Le résultat reste positif ; ce qui change, c'est que la puissance passe au dénominateur.
Y a-t-il des exercices pour s'entraîner ?
Oui, et ils sont gratuits : tutoriolab.com/fr/exercices/puissances. Tu as de nouvelles puissances à chaque fois — multiplier, diviser et puissance de puissance — et quand tu te trompes, il te dit quelle erreur tu as faite et te montre le calcul fait.
