Die Potenzgesetze, von null an
Die drei Regeln für Potenzen mit gleicher Basis kommen alle vom Zählen der Faktoren. Beim MULTIPLIZIEREN werden die Exponenten addiert (2³ × 2⁴ = 2⁷, weil es 3 + 4 = 7 Zweier sind). Beim DIVIDIEREN werden sie subtrahiert, oben minus unten (3⁵ ÷ 3² = 3³, weil sich zwei Dreier kürzen). Und bei einer POTENZ EINER POTENZ werden sie multipliziert ((2³)⁴ = 2¹², weil es 2³ viermal wiederholt ist und 3+3+3+3 = 3×4). Außerdem: jede Zahl hoch 0 ist 1, ein negativer Exponent bedeutet Teilen (2⁻³ = 1/8), und bei Basis 10 ist der Exponent die Anzahl der Nullen (10⁶ = eine Million). Im Zweifel ausschreiben und zählen.
Die Potenzgesetze, von null an und ohne etwas auswendig zu lernen.
Was eine Potenz ist
Fangen wir ganz vorne an, denn ich möchte nichts voraussetzen. Eine Potenz ist eine kurze Schreibweise für eine Multiplikation einer Zahl mit sich selbst. Zwei hoch drei bedeutet zwei mal zwei mal zwei, und das sind acht. Die große Zwei unten heißt Basis, und sie ist die Zahl, die sich wiederholt. Und die kleine Drei oben heißt Exponent, und sie sagt, wie oft sie sich wiederholt. Und jetzt der häufigste Fehler im ganzen Thema, den ich dir sofort aus dem Weg räumen will: zwei hoch drei ist nicht zwei mal drei. Es sind nicht sechs. Es sind acht. Der Exponent multipliziert die Basis nicht: er zählt.
Multiplizieren: addieren
Jetzt das erste Gesetz, das fürs Multiplizieren zweier Potenzen, die die gleiche Basis haben. Ich schreibe es aus, damit du siehst, woher es kommt, und damit du es nicht auswendig lernen musst. Wir haben zwei hoch drei mal zwei hoch vier. Zwei hoch drei ist zwei mal zwei mal zwei. Und zwei hoch vier ist zwei mal zwei mal zwei mal zwei. Wenn wir alles hintereinander schreiben, haben wir eine Multiplikation von Zweiern. Wie viele Zweier sind es insgesamt? Drei aus der ersten und vier aus der zweiten: sieben. Also ist das Ergebnis zwei hoch sieben. Und da ist das Gesetz: wenn man Potenzen gleicher Basis multipliziert, werden die Exponenten addiert. Drei plus vier, sieben. Und du kannst es mit Zahlen prüfen: acht mal sechzehn ist hundertachtundzwanzig, und das ist zwei hoch sieben.
Dividieren: subtrahieren
Zweites Gesetz, das fürs Dividieren, und es kommt aus derselben Quelle. Wir haben drei hoch fünf geteilt durch drei zum Quadrat. Wir schreiben es genauso aus: oben stehen fünf Dreier, die multipliziert werden, und unten stehen zwei Dreier. Und wenn in einem Bruch oben und unten dieselbe Zahl steht, kürzt sie sich weg, denn drei geteilt durch drei ist eins. Wir kürzen zwei Dreier oben mit den zweien unten. Wie viele Dreier bleiben oben? Fünf minus zwei, drei. Also ist das Ergebnis drei hoch drei. Und da ist das zweite Gesetz: wenn man Potenzen gleicher Basis dividiert, werden die Exponenten subtrahiert. Und achte auf die Reihenfolge, nämlich der obere minus der untere, niemals andersherum.
Potenz einer Potenz: multiplizieren
Und das dritte, das am meisten verwechselt wird: eine Potenz, die noch einmal potenziert wird. Zwei hoch drei, das Ganze hoch vier. Was diese Vier draußen sagt, ist, dass du viermal wiederholen musst, was in der Klammer steht. Also: zwei hoch drei, mal zwei hoch drei, mal zwei hoch drei, mal zwei hoch drei. Viermal. Und das können wir schon mit dem ersten Gesetz lösen, denn es sind Potenzen gleicher Basis, die multipliziert werden: man addiert die Exponenten. Drei plus drei plus drei plus drei. Und die Drei viermal zu addieren ist dasselbe wie drei mal vier zu rechnen: zwölf. Deshalb werden bei einer Potenz einer Potenz die Exponenten multipliziert.
Die drei zusammen
Und jetzt möchte ich, dass du die drei zusammen siehst, denn einzeln sehen sie aus wie drei willkürliche Regeln zum Auswendiglernen, und zusammen sieht man, dass sie dieselbe Idee sind. Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren: die Exponenten werden addiert. Sie dividieren: sie werden subtrahiert. Und eine Potenz noch einmal potenziert: sie werden multipliziert. Addition, Subtraktion, Multiplikation. Zu verwechseln, welche wozu gehört, ist mit Abstand der häufigste Fehler in diesem Thema, und genau deshalb zeige ich sie dir nebeneinander. Und wenn du eines Tages unsicher bist, versuch nicht, dich zu erinnern: schreibe die Potenz in Faktoren aus und zähle, wie viele es sind. Das Gesetz kommt von allein heraus.
Übung 1, Schritt für Schritt
Machen wir die erste Übung, und wir lösen sie gemeinsam, bevor wir irgendetwas anfassen. Zwei hoch drei mal zwei hoch vier, und gefragt ist der Exponent, wenn wir es als eine einzige Potenz schreiben. Zuerst schauen wir auf die Basis: beide sind zwei, das ist die gleiche Basis, und die brauchst du, um das Gesetz anwenden zu können. Und die Rechenart ist eine Multiplikation, wir müssen also die Exponenten addieren. Drei plus vier, sieben. Die Antwort ist sieben. Und wir machen sicherheitshalber die Probe mit Zahlen: zwei hoch drei ist acht, zwei hoch vier ist sechzehn, acht mal sechzehn ist hundertachtundzwanzig, und zwei hoch sieben ist ebenfalls hundertachtundzwanzig. Es stimmt. Und sieh dir die Zwölfer-Falle an: die zwölf kommt davon, drei mal vier zu rechnen, und das ist das Klammergesetz, nicht das fürs Multiplizieren zweier Potenzen. Ich markiere die sieben.
Kostenlos üben
Und ich möchte, dass du dir das hier rechts genau ansiehst, denn es ist unseres und es ist kostenlos. Es ist eine Übungsseite: tutoriolab.com, schrägstrich d e, schrägstrich uebungen, schrägstrich potenzgesetze. Jedes Mal, wenn du hineingehst, bekommst du andere Potenzen, du kannst also so oft üben, wie du willst, ohne dass sich etwas wiederholt. Und was wirklich zählt: wenn du eine falsch hast, wirft es dir nicht einfach ein Falsch hin und lässt dich stehen, wo du warst. Es sagt dir, welchen Fehler du gemacht hast, mit Namen, und es zeigt dir die ausgerechnete Rechnung.
Übung 2, Schritt für Schritt
Zweite und letzte Übung, und es ist genau der andere Fall, damit du den Unterschied siehst. Zwei hoch drei, in Klammern, hoch vier. Hier werden nicht zwei Potenzen multipliziert: hier steht eine Potenz in der Klammer und ein weiterer Exponent draußen. Das Gesetz, das gilt, ist also das dritte: die Exponenten werden multipliziert. Drei mal vier, zwölf. Die Antwort ist zwölf. Und wir machen die Probe: zwei hoch drei ist acht, und acht hoch vier ist viertausendsechsundneunzig; zwei hoch zwölf ist ebenfalls viertausendsechsundneunzig. Es stimmt. Und hier ist die Falle die sieben, die Antwort der vorigen Übung: sie kommt davon, zu addieren statt zu multiplizieren. Genau diesen Fehler wollte ich dir zeigen, mit den beiden Übungen direkt hintereinander.
Exponent null und negativ
Und es bleiben zwei Fälle, die ständig vorkommen und die normalerweise grundlos Angst machen. Der erste: jede Zahl hoch null ergibt eins. Nicht null: eins. Und dafür gibt es eine sehr einfache Erklärung mit dem, was wir gerade gelernt haben. Nimm zwei hoch drei geteilt durch zwei hoch drei. Nach dem Divisionsgesetz werden die Exponenten subtrahiert: drei minus drei, null. Das ergibt also zwei hoch null. Aber andererseits ist acht geteilt durch acht eins, ganz offensichtlich. Die beiden Wege müssen dasselbe ergeben, also ist zwei hoch null gleich eins. Der zweite Fall: ein negativer Exponent bedeutet nicht, dass das Ergebnis negativ ist. Er bedeutet, dass geteilt wird. Zwei hoch minus drei ist eins geteilt durch zwei hoch drei, also eins durch acht.
Zehnerpotenzen
Und eine letzte Abkürzung, die sich lohnt, denn sie wird ständig benutzt: die Zehnerpotenzen. Zehn hoch drei ist zehn mal zehn mal zehn, tausend. Und sieh, was passiert: der Exponent sagt dir genau, wie viele Nullen die Zahl hat. Zehn hoch drei, drei Nullen: tausend. Zehn hoch sechs, sechs Nullen: eine Million. Deshalb siehst du große Mengen so geschrieben, mit Zehnerpotenzen, statt Nullen mit dem Auge zu zählen. Das erspart dir Fehler und Zeit, wenn die Zahlen groß werden.
Die drei Regeln
Gehen wir die drei Gesetze durch, und das ist, was du mitnehmen musst. Wenn man Potenzen gleicher Basis multipliziert, werden die Exponenten addiert. Wenn man sie dividiert, werden sie subtrahiert, und immer der obere minus der untere. Und wenn eine Potenz noch einmal potenziert wird, werden sie multipliziert. Und das vierte, das kein Gesetz ist, sondern ein Rettungsring: wenn du jemals unsicher bist, welches gilt, schreibe die Potenz in Faktoren aus und zähle, wie viele es sind. Das geht nie schief. Übe es auf tutoriolab.com, schrägstrich d e, schrägstrich uebungen, schrägstrich potenzgesetze.
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Häufige Fragen
Was sind die Potenzgesetze?
Bei gleicher Basis: beim Multiplizieren werden die Exponenten addiert (aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ), beim Dividieren subtrahiert (aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ) und bei einer Potenz einer Potenz multipliziert ((aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ). Alle drei kommen davon, dass man zählt, wie viele Faktoren es sind.
Warum werden die Exponenten beim Multiplizieren addiert?
Weil 2³ drei Zweier sind und 2⁴ vier Zweier; multipliziert man sie, stehen sieben Zweier hintereinander, und das ist 2⁷. Es gibt nichts auswendig zu lernen: man zählt. Und die Probe: 8 × 16 = 128 = 2⁷.
Ist 2³ dasselbe wie 2 × 3?
Nein, und das ist der häufigste Fehler in diesem Thema. 2 × 3 ist 6; 2³ ist 2 × 2 × 2, also 8. Der Exponent multipliziert die Basis nicht: er sagt, wie oft sie sich wiederholt.
Warum ist jede Zahl hoch null gleich 1?
Weil 2³ ÷ 2³ nach der Divisionsregel 2³⁻³ = 2⁰ ist; und andererseits ist 8 ÷ 8 = 1. Beide Wege müssen dasselbe ergeben, also ist 2⁰ = 1. Das gilt für jede Basis außer null.
Was bedeutet ein negativer Exponent?
Dass geteilt wird, nicht dass das Ergebnis negativ ist. 2⁻³ = 1 ÷ 2³ = 1/8 = 0,125. Das Ergebnis bleibt positiv; was sich ändert, ist, dass die Potenz in den Nenner wandert.
Gibt es Übungen zum Trainieren?
Ja, und sie sind kostenlos: tutoriolab.com/de/uebungen/potenzgesetze. Du bekommst jedes Mal neue Potenzen — multiplizieren, dividieren und Potenz einer Potenz — und wenn du eine falsch hast, sagt es dir, welchen Fehler du gemacht hast, und zeigt dir die ausgerechnete Rechnung.
