Les probabilités avec des dés, de zéro
La probabilité, c'est compter : les cas favorables divisés par TOUS les cas possibles. Avec un dé, P(4) = 1/6 parce qu'il y a une bonne face sur six ; P(pair) = 3/6 parce qu'il y en a trois (2, 4 et 6) et qu'en bas il y a toujours les six faces. Quand une chose OU l'autre convient, on les ADDITIONNE : P(2 ou 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6. Quand les deux doivent arriver (ET), on les MULTIPLIE, et les cas possibles aussi : avec deux lancers il y a 6 × 6 = 36 paires, donc P(6 et 6) = 1/36. Confondre le ET avec le OU est l'erreur la plus fréquente du sujet. Et un dé n'a pas de mémoire : après cinq six, le prochain six vaut toujours 1/6.
Les probabilités avec des dés, de zéro et sans formules bizarres.
Ce qu'est une probabilité
Commençons par le tout début, parce que je ne veux rien supposer. La probabilité n'est pas deviner et ce n'est pas la chance : c'est compter. Compter combien, parmi les choses qui peuvent arriver, sont celles qui t'intéressent, et diviser. C'est tout, et c'est de là que vient la seule formule de cette vidéo : probabilité égale cas favorables divisé par cas possibles. Le résultat sortira toujours entre zéro et un. Zéro veut dire que c'est impossible, et un que ça arrivera à coup sûr. Et on va tout faire avec un dé, comme ça tombe dans les exercices : un dé normal, à six faces. Rien d'autre, et tout dans cette vidéo sort de cette seule idée.
La fraction, pas à pas
Première question, la plus simple de toutes : quelle est la probabilité d'obtenir un quatre ? On va construire la fraction lentement, parce qu'une fois que tu comprends d'où vient chaque nombre, tu ne la rateras plus jamais. En haut, au numérateur, vont les cas favorables : les faces qui te conviennent. Combien de faces du dé sont un quatre ? Une seule. Donc un un va en haut. Et en bas, au dénominateur, vont les cas possibles : toutes les faces qui peuvent sortir, qu'elles te conviennent ou non. Un dé a six faces, donc un six va en bas. La probabilité est un sixième. Et si tu la veux en pourcentage, un divisé par six fait zéro virgule seize, c'est-à-dire seize virgule sept pour cent.
Quand plusieurs faces comptent
Deuxième question, un peu plus intéressante : quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ? Ici il n'y a pas qu'une bonne face. Quels sont les nombres pairs sur un dé ? Deux, quatre et six. Trois faces. Donc un trois va en haut. Et maintenant fais attention, parce que c'est ici que presque tout le monde se trompe : en bas il ne va PAS un trois. En bas il y a toujours six, parce que le dé a toujours six faces. Ce qui change, c'est le haut, jamais le bas. La probabilité est trois sixièmes, ce qui fait exactement la moitié, et c'est logique : la moitié des faces d'un dé sont paires. Chaque fois que la réponse tombe pile sur une moitié, c'est bon signe que tu as bien compté.
Le OU : on les additionne
Et maintenant on arrive à ce qu'on demande vraiment, c'est-à-dire les deux mots qui embrouillent tout : le OU et le ET. On commence par le OU, qui est le facile. Le OU veut dire que soit une chose convient, soit l'autre convient : du moment que l'une des deux arrive, c'est bon. Par exemple : quelle est la probabilité d'obtenir un deux ou un cinq ? Le deux vaut un sixième. Le cinq vaut un sixième. Et comme l'une ou l'autre te convient, on les additionne : un sixième plus un sixième font deux sixièmes. C'est la règle du OU : on les additionne. Et un avertissement important : ça vaut tant que les deux choses ne peuvent pas arriver en même temps, et c'est ce qui se passe avec les faces d'un dé, parce qu'il n'en sort qu'une.
Le ET : on les multiplie
Et maintenant le ET, celui qui reste vraiment en travers de la gorge. Le ET veut dire que les deux choses doivent arriver, l'une ne suffit pas. Par exemple : tu lances le dé deux fois, quelle est la probabilité d'obtenir un six puis un autre six ? L'important ici est de comprendre que les cas possibles ne sont plus six. Avec deux lancers, chaque face du premier peut se mettre en paire avec chaque face du second : six fois six, trente-six paires possibles. Et parmi ces trente-six, combien conviennent ? Une seule, la paire avec deux six. Donc la probabilité est un sur trente-six. Et remarque ce qui est arrivé au nombre : un sixième fois un sixième font un trente-sixième, beaucoup plus petit. C'est logique, parce que demander deux choses à la fois est plus dur que d'en demander une.
Les deux ensemble
Et maintenant je veux que tu voies les deux ensemble, parce que séparément on les oublie et ensemble elles se distinguent toutes seules. Le OU additionne, et le résultat monte, parce que tu as plus de façons de tomber juste. Le ET multiplie, et le résultat descend, parce que tu demandes plus de choses. Et si un jour tu ne sais pas laquelle s'applique, pose-toi cette question : est-ce qu'il suffit qu'une seule des deux arrive ? Si oui, on les additionne. Tu as besoin des deux ? Alors c'est un ET et on les multiplie. Les confondre est, de très loin, l'erreur numéro un dans tous les exercices de probabilité.
Exercice 1, pas à pas
Faisons le premier exercice, et on va le résoudre ensemble avant de toucher à quoi que ce soit. Un sac contient quatre billes rouges, trois bleues et cinq vertes. Tu en prends une sans regarder : quelle est la probabilité qu'elle soit bleue ? D'abord le haut, les cas favorables : les bleues, qui sont trois. Et maintenant le bas, les cas possibles, et c'est là qu'est le piège : ce sont toutes les billes du sac, pas seulement celles qui ne sont pas bleues. Quatre plus trois plus cinq, douze. Donc la probabilité est trois douzièmes. Et regarde le piège du trois neuvièmes : neuf ce sont les billes qui ne sont PAS bleues, et ce ne sont pas les cas possibles. Les cas possibles sont toujours toutes. Et remarque que la fraction reste à trois douzièmes, sans simplifier, parce que ce qu'on apprend ici c'est d'où vient chaque nombre. Je marque trois douzièmes.
S'entraîner gratuitement
Et je veux que tu regardes bien ceci à droite, parce que c'est à nous et c'est gratuit. C'est une page d'exercices : tutoriolab.com, barre f r, barre exercices, barre probabilités. Tu as les trois choses de la vidéo : la fraction, le ET et le OU, avec des sacs et des dés différents à chaque fois, tu peux donc t'entraîner sans que ça se répète. Et ce qui compte vraiment : quand tu te trompes, il ne te balance pas un incorrect en te laissant où tu en étais. Il te dit quelle erreur tu as faite, par son nom.
Exercice 2, pas à pas
Deuxième et dernier exercice, et c'est celui du ET, celui qu'il faut avoir clair. Tu lances un dé deux fois : quelle est la probabilité d'obtenir un six au premier et un nombre pair au second ? D'abord, reconnais lequel c'est : il dit ET, et les deux choses sont nécessaires, donc ça va multiplier. Prenons chaque lancer séparément. Premier lancer, obtenir un six : il y a une bonne face sur six, c'est-à-dire un sixième. Second lancer, obtenir un nombre pair : deux, quatre et six, trois bonnes faces sur six, c'est-à-dire trois sixièmes. Et maintenant on les multiplie : un fois trois font trois en haut, et six fois six font trente-six en bas. Trois trente-sixièmes. Et regarde le piège du quatre : il vient d'additionner un plus trois au lieu de multiplier. C'est exactement la confusion de cette vidéo.
Un dé n'a pas de mémoire
Et avant de finir, quelque chose qu'il faut dire parce que ça coûte cher à beaucoup de gens : le dé n'a pas de mémoire. Si cinq six sont sortis d'affilée, la probabilité que le prochain soit un six est toujours exactement un sixième. Ni plus, ni moins. Le dé ne se souvient pas de ce qu'il a fait avant, et il n'y a aucun numéro qui serait dû. Cette idée que quelque chose est dû s'appelle le sophisme du joueur, et c'est une erreur, pas une stratégie. Chaque lancer repart de zéro. Et ça ne concerne pas que les dés : c'est pareil avec une pièce, avec une roulette et avec un tirage de loterie. Ce qui n'a pas de mémoire ne peut rien te devoir.
Ce qu'il faut retenir
Passons en revue ce qu'il faut retenir. Un : la probabilité est les cas favorables divisés par tous les cas possibles, et en bas ce sont toujours tous, sans exception. Deux : quand une chose ou l'autre convient, on les additionne. Trois : quand les deux doivent arriver, on les multiplie, et rappelle-toi qu'alors les cas possibles se multiplient aussi. Et quatre, la bouée : si tu te perds, compte les cas un par un, parce qu'ils sont peu nombreux. Entraîne-toi sur tutoriolab.com, barre f r, barre exercices, barre probabilités.
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Questions fréquentes
Comment calcule-t-on une probabilité ?
Tu comptes les cas favorables (ceux qui te conviennent) et tu divises par les cas possibles (tout ce qui peut arriver). Avec un dé, la probabilité d'obtenir un 4 est 1/6 : une bonne face sur six faces.
Quand additionne-t-on les probabilités et quand les multiplie-t-on ?
Si une chose OU l'autre te convient, on les ADDITIONNE : P(2 ou 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6. Si les deux doivent arriver (ET), on les MULTIPLIE : P(6 puis 6) = 1/6 × 1/6 = 1/36. La question qui tranche est "est-ce qu'une seule me suffit ?" : si oui, c'est un OU ; s'il te faut les deux, c'est un ET.
Pourquoi y a-t-il 36 cas possibles avec deux dés et pas 12 ?
Parce que chaque face du premier dé peut se mettre en paire avec chaque face du second : 6 × 6 = 36 paires différentes. Faire 6 + 6 compterait des faces, pas des paires, et ce qu'on regarde ce sont des paires.
Pourquoi P(pair) a-t-il 6 en bas et pas 3 ?
Parce qu'en bas vont TOUJOURS tous les cas possibles, et le dé a toujours six faces, que ce soit pair ou impair qui sorte. La seule chose que la question change, c'est le nombre du haut. C'est l'erreur la plus répétée du sujet.
Cinq six sont sortis d'affilée, un autre est-il plus probable ?
Non, et pas moins probable non plus : c'est toujours 1/6. Un dé n'a pas de mémoire des lancers précédents. Croire qu'un numéro est "dû" s'appelle le sophisme du joueur et c'est une erreur, pas une stratégie.
Y a-t-il des exercices pour s'entraîner ?
Oui, et ils sont gratuits : tutoriolab.com/fr/exercices/probabilites. Tu as de nouveaux sacs et dés à chaque fois, avec les trois cas de la vidéo — la fraction, le ET et le OU — et quand tu te trompes, il te dit quelle erreur tu as faite et te montre le calcul fait.
