Wahrscheinlichkeit mit Würfeln, von null an
Wahrscheinlichkeit ist Zählen: günstige Fälle geteilt durch ALLE möglichen Fälle. Mit einem Würfel ist P(4) = 1/6, weil es eine gute Seite von sechs gibt; P(gerade) = 3/6, weil es drei sind (2, 4 und 6) und unten weiterhin die sechs Seiten stehen. Wenn das eine ODER das andere nützt, werden sie ADDIERT: P(2 oder 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6. Wenn beide eintreten müssen (UND), werden sie MULTIPLIZIERT, und die möglichen Fälle auch: bei zwei Würfen gibt es 6 × 6 = 36 Paare, also P(6 und 6) = 1/36. Das UND mit dem ODER zu verwechseln ist der häufigste Fehler in diesem Thema. Und ein Würfel hat kein Gedächtnis: nach fünf Sechsen ist die nächste Sechs immer noch 1/6 wert.
Wahrscheinlichkeit mit Würfeln, von null an und ohne seltsame Formeln.
Was Wahrscheinlichkeit ist
Fangen wir ganz vorne an, denn ich möchte nichts voraussetzen. Wahrscheinlichkeit ist kein Raten und ist kein Glück: sie ist Zählen. Abzählen, wie viele der Dinge, die passieren können, die sind, die dich interessieren, und teilen. Das ist alles, und daher kommt die einzige Formel in diesem Video: Wahrscheinlichkeit gleich günstige Fälle geteilt durch mögliche Fälle. Das Ergebnis liegt immer zwischen null und eins. Null heißt, es ist unmöglich, und eins heißt, es passiert sicher. Und wir machen alles mit einem Würfel, so wie es in den Aufgaben vorkommt: ein normaler Würfel, mit sechs Seiten. Sonst nichts, und alles in diesem Video kommt aus dieser einen Idee.
Der Bruch, Schritt für Schritt
Erste Frage, die einfachste von allen: wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Vier zu würfeln? Wir bauen den Bruch langsam auf, denn wenn du einmal verstanden hast, woher jede Zahl kommt, machst du ihn nie wieder falsch. Oben, in den Zähler, kommen die günstigen Fälle: die Seiten, die dir nützen. Wie viele Seiten des Würfels sind eine Vier? Nur eine. Oben steht also eine Eins. Und unten, in den Nenner, kommen die möglichen Fälle: jede Seite, die kommen kann, ob sie dir nützt oder nicht. Ein Würfel hat sechs Seiten, unten steht also eine Sechs. Die Wahrscheinlichkeit ist ein Sechstel. Und wenn du sie als Prozentzahl willst: eins geteilt durch sechs ist null Komma eins sechs, also sechzehn Komma sieben Prozent.
Wenn mehrere Seiten zählen
Zweite Frage, ein bisschen interessanter: wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln? Hier gibt es nicht nur eine gute Seite. Welche sind die geraden Zahlen auf einem Würfel? Zwei, vier und sechs. Drei Seiten. Oben steht also eine Drei. Und jetzt pass auf, denn hier macht es fast jeder falsch: unten kommt KEINE Drei. Unten stehen weiterhin sechs, denn der Würfel hat immer noch sechs Seiten. Was sich ändert, ist das Obere, nie das Untere. Die Wahrscheinlichkeit ist drei Sechstel, und das ist genau die Hälfte, und das ergibt Sinn: die Hälfte der Seiten eines Würfels ist gerade. Immer wenn die Antwort genau eine Hälfte ergibt, ist das ein gutes Zeichen, dass du richtig gezählt hast.
Das ODER: sie werden addiert
Und jetzt kommen wir zu dem, was wirklich gefragt wird, nämlich die zwei Wörter, die alles durcheinanderbringen: das ODER und das UND. Wir fangen mit dem ODER an, das ist das leichte. Das ODER heißt, dass entweder das eine nützt oder das andere nützt: solange eines von beiden eintritt, bist du fertig. Zum Beispiel: wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Zwei oder eine Fünf zu würfeln? Die Zwei ist ein Sechstel wert. Die Fünf ist ein Sechstel wert. Und da dir beide recht sind, werden sie addiert: ein Sechstel plus ein Sechstel ist zwei Sechstel. Das ist die Regel des ODER: sie werden addiert. Und eine wichtige Warnung: das gilt, solange die beiden Dinge nicht zugleich eintreten können, und genau das ist bei den Seiten eines Würfels so, denn es kommt nur eine.
Das UND: sie werden multipliziert
Und jetzt das UND, das einem wirklich im Hals stecken bleibt. Das UND heißt, dass beide Dinge eintreten müssen, eines reicht nicht. Zum Beispiel: du würfelst zweimal, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs und dann noch eine Sechs zu würfeln? Wichtig ist hier zu merken, dass die möglichen Fälle nicht mehr sechs sind. Bei zwei Würfen kann sich jede Seite des ersten mit jeder Seite des zweiten paaren: sechs mal sechs, sechsunddreißig mögliche Paare. Und von diesen sechsunddreißig, wie viele nützen? Nur eines, das Paar mit zwei Sechsen. Die Wahrscheinlichkeit ist also eins von sechsunddreißig. Und achte darauf, was mit der Zahl passiert ist: ein Sechstel mal ein Sechstel ist ein Sechsunddreißigstel, viel kleiner. Das ergibt Sinn, denn zwei Dinge zugleich zu verlangen ist schwerer, als eines zu verlangen.
Die beiden zusammen
Und jetzt möchte ich, dass du die beiden zusammen siehst, denn einzeln vergisst man sie und zusammen unterscheiden sie sich von selbst. Das ODER addiert, und das Ergebnis geht hinauf, denn du hast mehr Möglichkeiten, richtig zu liegen. Das UND multipliziert, und das Ergebnis geht hinunter, denn du verlangst mehr Dinge. Und wenn du einmal nicht weißt, welches gilt, stell dir diese Frage: reicht es, dass nur eines von beiden eintritt? Wenn ja, werden sie addiert. Brauchst du beide? Dann ist es ein UND und sie werden multipliziert. Sie zu verwechseln ist mit Abstand Fehler Nummer eins in jeder Wahrscheinlichkeitsaufgabe.
Übung 1, Schritt für Schritt
Machen wir die erste Übung, und wir lösen sie gemeinsam, bevor wir irgendetwas anfassen. In einem Beutel sind vier rote Kugeln, drei blaue und fünf grüne. Du ziehst eine, ohne hinzusehen: wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie blau ist? Zuerst das Obere, die günstigen Fälle: die blauen, und das sind drei. Und jetzt das Untere, die möglichen Fälle, und darin steckt die Falle: es sind alle Kugeln im Beutel, nicht nur die, die nicht blau sind. Vier plus drei plus fünf, zwölf. Die Wahrscheinlichkeit ist also drei Zwölftel. Und sieh dir die Falle drei Neuntel an: neun sind die Kugeln, die NICHT blau sind, und das sind nicht die möglichen Fälle. Die möglichen Fälle sind immer alle. Und achte darauf, dass der Bruch als drei Zwölftel stehen bleibt, ungekürzt, denn hier lernt man, woher jede Zahl kommt. Ich markiere drei Zwölftel.
Kostenlos üben
Und ich möchte, dass du dir das hier rechts genau ansiehst, denn es ist unseres und es ist kostenlos. Es ist eine Übungsseite: tutoriolab.com, schrägstrich d e, schrägstrich uebungen, schrägstrich wahrscheinlichkeit. Du bekommst die drei Dinge aus dem Video: den Bruch, das UND und das ODER, mit jedes Mal anderen Beuteln und Würfen, du kannst also üben, ohne dass sich etwas wiederholt. Und was wirklich zählt: wenn du eine falsch hast, wirft es dir nicht einfach ein Falsch hin und lässt dich stehen, wo du warst. Es sagt dir, welchen Fehler du gemacht hast, mit Namen.
Übung 2, Schritt für Schritt
Zweite und letzte Übung, und es ist die mit dem UND, die du klar haben musst. Du würfelst zweimal: wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf eine Sechs und beim zweiten eine gerade Zahl zu bekommen? Zuerst erkennen, welches es ist: es heißt UND, und beide Dinge werden gebraucht, es wird also multipliziert. Nehmen wir jeden Wurf einzeln. Erster Wurf, eine Sechs bekommen: es gibt eine gute Seite von sechs, das ist ein Sechstel. Zweiter Wurf, eine gerade Zahl bekommen: zwei, vier und sechs, drei gute Seiten von sechs, das ist drei Sechstel. Und jetzt werden sie multipliziert: eins mal drei ist drei oben, und sechs mal sechs ist sechsunddreißig unten. Drei Sechsunddreißigstel. Und sieh dir die Vierer-Falle an: sie kommt davon, eins plus drei zu addieren statt zu multiplizieren. Genau das ist die Verwechslung aus diesem Video.
Ein Würfel hat kein Gedächtnis
Und bevor wir Schluss machen, etwas, das gesagt werden muss, weil es viele Leute Geld kostet: der Würfel hat kein Gedächtnis. Wenn fünf Sechsen hintereinander gekommen sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die nächste eine Sechs ist, immer noch genau ein Sechstel. Nicht mehr und nicht weniger. Der Würfel erinnert sich nicht daran, was er vorher getan hat, und es gibt keine Zahl, die dran wäre. Diese Vorstellung, dass etwas fällig sei, heißt Spielerfehlschluss, und sie ist ein Fehler, keine Strategie. Jeder Wurf fängt bei null an. Und das gilt nicht nur für Würfel: bei einer Münze, bei einem Roulette und bei einer Lotterieziehung ist es genauso. Was kein Gedächtnis hat, kann dir nichts schulden.
Was du mitnimmst
Gehen wir durch, was du mitnehmen musst. Erstens: Wahrscheinlichkeit ist günstige Fälle geteilt durch alle möglichen Fälle, und unten stehen immer alle, ohne Ausnahme. Zweitens: wenn das eine oder das andere nützt, werden sie addiert. Drittens: wenn beide eintreten müssen, werden sie multipliziert, und denk daran, dass dann auch die möglichen Fälle multipliziert werden. Und viertens, der Rettungsring: wenn du den Faden verlierst, zähle die Fälle einzeln ab, denn es sind wenige. Übe es auf tutoriolab.com, schrägstrich d e, schrägstrich uebungen, schrägstrich wahrscheinlichkeit.
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Häufige Fragen
Wie berechnet man eine Wahrscheinlichkeit?
Du zählst die günstigen Fälle (die, die dir nützen) und teilst durch die möglichen Fälle (alles, was passieren kann). Bei einem Würfel ist die Wahrscheinlichkeit, eine 4 zu würfeln, 1/6: eine gute Seite von sechs Seiten.
Wann werden Wahrscheinlichkeiten addiert und wann multipliziert?
Nützt dir das eine ODER das andere, werden sie ADDIERT: P(2 oder 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6. Müssen beide eintreten (UND), werden sie MULTIPLIZIERT: P(6 und dann 6) = 1/6 × 1/6 = 1/36. Die Frage, die es entscheidet, lautet "reicht mir eines davon?": wenn ja, ist es ein ODER; brauchst du beide, ist es ein UND.
Warum gibt es bei zwei Würfeln 36 mögliche Fälle und nicht 12?
Weil sich jede Seite des ersten Würfels mit jeder Seite des zweiten paaren kann: 6 × 6 = 36 verschiedene Paare. 6 + 6 zu rechnen würde Seiten zählen, nicht Paare, und betrachtet werden Paare.
Warum steht bei P(gerade) unten eine 6 und keine 3?
Weil unten IMMER alle möglichen Fälle stehen, und der Würfel hat weiterhin sechs Seiten, ob gerade oder ungerade kommt. Das Einzige, was die Frage ändert, ist die Zahl oben. Es ist der häufigste Fehler in diesem Thema.
Fünf Sechsen sind hintereinander gekommen, ist eine weitere wahrscheinlicher?
Nein, und auch nicht unwahrscheinlicher: sie ist weiterhin 1/6. Ein Würfel hat kein Gedächtnis für frühere Würfe. Zu glauben, eine Zahl sei "fällig", heißt Spielerfehlschluss und ist ein Fehler, keine Strategie.
Gibt es Übungen zum Trainieren?
Ja, und sie sind kostenlos: tutoriolab.com/de/uebungen/wahrscheinlichkeit. Du bekommst jedes Mal neue Beutel und Würfe, mit den drei Fällen aus dem Video — der Bruch, das UND und das ODER — und wenn du eine falsch hast, sagt es dir, welchen Fehler du gemacht hast, und zeigt dir die ausgerechnete Rechnung.
