Kwadratische vergelijkingen, van nul af

Elke kwadratische vergelijking kun je ordenen als ax² + bx + c = 0 en oplossen met één formule: x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a. Het teken hoort bij het getal — in x² − 5x + 6 = 0 is b gelijk aan −5, niet 5 — en −b wordt dan +5, en juist daar gaan de meesten de mist in. Het deel onder de wortel is de DISCRIMINANT (D = b² − 4ac) en die zegt je het aantal oplossingen voordat je rekent: positief geeft twee, nul geeft één dubbele, negatief geeft geen reële. Ontbreekt er een term, dan is de formule overbodig: zonder c haal je buiten haakjes (2x² − 8x = 0 → x = 0 en x = 4) en zonder b stel je om en trek je de wortel, die twee tekens heeft (x² = 9 → x = 3 en x = −3). En controleer altijd: je oplossing ingevuld moet nul geven.

Kwadratische vergelijkingen, van nul af en zonder iets over te slaan.

Wat een kwadratische vergelijking is

We beginnen helemaal bij het begin, want ik wil niets als bekend veronderstellen. Een vergelijking is een gelijkheid met een letter erin, en hem oplossen is uitvinden welk getal zich achter die letter verbergt. Als de letter gekwadrateerd voorkomt, en er niets hoger dan dat gemacht is, zeggen we dat de vergelijking kwadratisch is. Daar komt de naam vandaan: van de kleine twee bovenaan. En allemaal, zonder uitzondering, kunnen ze in deze vorm geordend worden: a x kwadraat, plus b x, plus c, is nul.

Wie a, b en c zijn

Laten we het nu over die drie letters hebben, want het zijn geen onbekenden: het zijn de getallen die je al krijgt, en je moet weten wie wie is voordat je iets aanraakt. Hier is de vergelijking die ons de hele video zal vergezellen: x kwadraat, min vijf x, plus zes, is nul. De a is het getal dat het x kwadraat vermenigvuldigt. En hier gebeurt iets dat veel mensen verwart: vóór het x kwadraat staat geen getal. Kijk goed, want als er geen getal staat, betekent dat dat er een één staat, want x kwadraat betekent hetzelfde als één keer x kwadraat. De a is één waard. De b is het getal dat de losse x vermenigvuldigt, en hier staat min vijf. En nu het belangrijkste van de hele video: het teken hoort bij het getal. De b is niet vijf: hij is min vijf, met zijn min erbij. En de c is het getal dat alleen staat, zonder x ernaast: hier is dat zes.

De abc-formule

Met die drie getallen kun je al de abc-formule gebruiken, die altijd dezelfde is, voor elke kwadratische vergelijking ter wereld. Hij luidt zo, en we lezen hem rustig voordat we hem gebruiken, want als je hem niet begrijpt kun je hem niet goed toepassen. x is: min b, plus of min de wortel van, b kwadraat min vier a c, en dat alles gedeeld door twee a. Laten we zijn drie delen apart bekijken. Hier, min b. Hier onder de wortel, b kwadraat min vier a c. En hier onderaan, delend, twee a. En dat plus of min in het midden betekent niet dat we twijfelen: het is een opdracht. Het betekent dat de berekening twee keer gedaan wordt, één keer optellend en één keer aftrekkend, en daarom komen er twee oplossingen uit en niet één.

De getallen invullen

Laten we onze getallen invullen, één voor één, zonder haast. We beginnen met min b. Onze b is min vijf waard, dus min b is min, min vijf. En hier zit de meest gemaakte fout van het hele onderwerp, dus stop even en kijk er goed naar: als je twee mintekens achter elkaar hebt, is de uitkomst positief. Min, min vijf, is plus vijf. Als je hier bij min vijf blijft, wordt alles wat je daarna doet fout, hoe goed je de rest van de berekening ook doet. Het is de fout die ik het meest zie. En nu die van onderen, de twee a: de a is één waard, dus twee keer één is twee. De noemer van onze breuk is twee.

Wat er onder de wortel staat

Nu wat er onder de wortel staat, dat twee stukken heeft en die we apart doen. Het eerste stuk is b kwadraat. Onze b is min vijf waard, dus b kwadraat is min vijf in het kwadraat, dat wil zeggen min vijf vermenigvuldigd met min vijf. Weer twee negatieve getallen die zich vermenigvuldigen: de uitkomst is positief. Vijfentwintig. Het tweede stuk is vier a c, en dat betekent vier keer a keer c, alle drie vermenigvuldigd: vier keer één keer zes. Vier keer één is vier. Vier keer zes is vierentwintig. En nu worden ze afgetrokken, in die volgorde, de eerste min de tweede: vijfentwintig min vierentwintig is één. Onder de wortel blijft een één over, en de wortel van één is één, want één keer één is één.

De twee oplossingen

We hebben alle stukken al. De berekening die overblijft is: vijf, plus of min één, gedeeld door twee. En nu doen we de twee versies, en daar vroeg dat plus of min om. Eerst met de plus: vijf plus één is zes, en zes door twee is drie. Dat is één van de oplossingen. Nu met de min: vijf min één is vier, en vier door twee is twee. Dat is de andere. De twee oplossingen van onze vergelijking zijn drie en twee. En let erop dat beide heel en rond uit zijn gekomen: als ze zo rond uitkomen, is dat meestal een goed teken dat je op de goede weg bent.

Zelf controleren

En nu laat ik je iets zien dat bijna niemand uitlegt en dat je bij elke toets van je leven zal dienen: hoe je zelf weet of je het goed gedaan hebt, zonder iemand te vragen en zonder in de uitwerkingen te kijken. Het is heel simpel. Je neemt je oplossing, zet hem in de oorspronkelijke vergelijking op de plek waar de x staat, en rekent uit. Als het nul geeft, is die oplossing goed. Laten we het met de drie proberen. Drie in het kwadraat is negen. Min vijf keer drie is vijftien, dus er staat min vijftien. En dan plus zes. Dus: negen, min vijftien, plus zes. Negen min vijftien is min zes, en min zes plus zes is nul. Het geeft nul. Nu proberen we de twee: vier, min tien, plus zes, en dat is ook nul. Beide zijn oplossingen.

Oefening 1, stap voor stap

Laten we de eerste oefening doen, en we lossen hem samen op het bord op voordat we iets aanraken. x kwadraat, min zeven x, plus twaalf, is nul, en gevraagd is de grootste oplossing. Eerst de letters, zoals altijd: de a is één waard, want vóór het x kwadraat staat geen getal; de b is min zeven waard, met zijn teken erbij; en de c is twaalf waard. Nu de discriminant. b kwadraat is min zeven in het kwadraat, en omdat het twee negatieve getallen zijn die zich vermenigvuldigen komt het positief uit: negenenveertig. Vier a c is vier keer één keer twaalf, en dat is achtenveertig. Negenenveertig min achtenveertig is één, en de wortel van één is één. Min b, met b gelijk aan min zeven, is plus zeven. Met de plus: zeven plus één is acht, door twee, vier. Met de min: zeven min één is zes, door twee, drie. Gevraagd is de grootste van de twee, dus het antwoord is vier. En nu, ja, markeer ik hem.

Gratis oefenen

En ik wil dat je hier rechts goed naar kijkt, want het is van ons en het is gratis. Het is een oefenpagina: tutoriolab.com, schuine streep n l, schuine streep oefeningen, schuine streep kwadratische vergelijkingen. Elke keer dat je erop gaat krijg je andere vergelijkingen, je kunt dus zo vaak oefenen als je wilt zonder dat het zich herhaalt. En wat echt telt: als je er een fout hebt, gooit het je geen onjuist voor de voeten en laat het je staan waar je stond. Het zegt je welke fout je maakte, bij naam, en het laat je de uitgewerkte som stap voor stap zien.

Wat de discriminant is

Nu geven we een deel van de formule een naam, want je gaat hem vaak horen. Wat onder de wortel staat, b kwadraat min vier a c, heet de discriminant. In het Grieks heet hij delta, en hij wordt met een driehoekje geschreven. En die naam is geen gril: dat getal alleen al zegt je hoeveel oplossingen je gaat vinden voordat je begint ze uit te rekenen. Daarom loont het hem als eerste uit te rekenen: tien seconden kijken en je weet al of er iets te zoeken valt of helemaal niets.

De drie gevallen

En er zijn drie gevallen, niet meer. Komt de discriminant positief uit, dus groter dan nul, dan zijn er twee verschillende oplossingen: dat gebeurde bij ons, we kregen één. Komt hij precies nul uit, dan is er één enkele oplossing, en die heet een dubbele oplossing. En komt hij negatief uit, dan is er helemaal geen reële oplossing. De reden is simpel en ik wil dat je hem begrijpt in plaats van hem uit je hoofd te leren: je zou de wortel van een negatief getal moeten trekken, en die bestaat niet, want elk getal met zichzelf vermenigvuldigd geeft positief. Kijk naar dit voorbeeld: x kwadraat plus twee x plus vijf. b kwadraat is vier; vier a c is vier keer één keer vijf, twintig; en vier min twintig geeft min zestien. Negatief. Die vergelijking heeft geen oplossing, en we wisten het zonder iets anders uit te rekenen.

Als de losse term ontbreekt

Nu een geval waar heel veel naar gezocht wordt en dat bijna niemand goed uitlegt: wat er gebeurt als de vergelijking onvolledig is, dus als een van de drie termen ontbreekt. En wat ik je wil laten zien is dat de formule daar overbodig is, omdat het zonder hem sneller gaat. Eerste geval: de losse term ontbreekt, er is geen c. Bijvoorbeeld, twee x kwadraat min acht x is nul. Let erop dat beide termen een x bevatten, we kunnen de x dus buiten haakjes halen: twee x, keer, x min vier. En nu gebruiken we iets dat je al sinds de basisschool weet: als je twee dingen vermenigvuldigt en de uitkomst is nul, dan moet een van de twee nul zijn. Dus of de twee x is nul, en dan is x nul waard, of de x min vier is nul, en dan is x vier waard. Twee oplossingen, nul en vier, zonder de formule gebruikt te hebben. En onthoud dit: als de c ontbreekt, zal nul altijd één van de oplossingen zijn.

Als de losse x ontbreekt

En nu het tweede geval: nu ontbreekt de losse x, er is geen b. Bijvoorbeeld, twee x kwadraat min achttien is nul. Hier kunnen we niets buiten haakjes halen, want de achttien bevat geen x. Dus stel je hem om als elke gewone vergelijking. We brengen de achttien naar de andere kant, en bij het overgaan wisselt hij van teken, dus daar telt hij op: twee x kwadraat is achttien. Nu vermenigvuldigt de twee, dus die gaat delend naar de andere kant: x kwadraat is achttien door twee, en dat is negen. En het enige dat overblijft is het kwadraat van de x afhalen, en dat doe je door de wortel te trekken. En hier is de val die een half punt kost: de wortel van negen is drie, ja, maar hij is ook min drie. Want min drie keer min drie geeft ook negen. Er zijn twee oplossingen: drie en min drie.

Een verhaaltjessom

En nu naar wat er echt bij toetsen komt, en dat is bijna nooit een al opgeschreven vergelijking: het is een verhaaltjessom die je zelf in een vergelijking moet omzetten. Deze: een rechthoek is drie meter langer dan breed, en zijn oppervlakte is veertig vierkante meter. Hoe breed is hij? De eerste stap, en die kost het meest van allemaal, is een letter zetten op wat je niet weet. Wat ons gevraagd wordt is de breedte, dus we zeggen dat de breedte x is. En let nu op, want hier raken veel mensen de draad kwijt: de lengte is geen tweede nieuwe letter. De tekst zegt ons dat de lengte drie meter meer is dan de breedte, dus de lengte is x plus drie. Met één letter hebben we beide zijden al beschreven.

De vergelijking opstellen

Nu stellen we de vergelijking op. De oppervlakte van een rechthoek is de breedte vermenigvuldigd met de lengte, en er wordt ons gezegd dat die veertig is: x, keer, x plus drie, is veertig. We werken de haakjes weg: x keer x is x kwadraat, en x keer drie is drie x. Er blijft x kwadraat plus drie x is veertig. En nu moet hij geordend worden, want de formule werkt alleen als er rechts een nul staat: we brengen de veertig aftrekkend naar de andere kant. x kwadraat plus drie x min veertig is nul. Nu is hij klaar voor de formule.

Oplossen en kiezen

We halen de letters eruit: de a is één waard, de b is drie waard en de c is min veertig waard. Naar de discriminant. Drie in het kwadraat is negen. En vier a c is vier keer één keer min veertig, en dat geeft min honderdzestig. En let hier op, want dit is nog zo'n plek waar veel mensen misgaan: een negatief getal aftrekken is in werkelijkheid optellen. Negen plus honderdzestig, honderdnegenenzestig. De wortel van honderdnegenenzestig is dertien, en die is het waard om te kennen. De twee oplossingen komen er zo uit: min drie plus dertien, door twee, vijf; en min drie min dertien, door twee, min acht. En nu komt wat iemand die de som begrepen heeft scheidt van iemand die alleen gerekend heeft: een zijde van een rechthoek kan geen min acht meter meten, die oplossing valt dus af. De breedte is vijf. En we controleren het: als de breedte vijf is, is de lengte acht, en vijf keer acht is veertig.

Oefening 2, stap voor stap

Tweede en laatste oefening, en het is diezelfde som. Ik wil dat je de hele weg nog eens in één keer ziet, zonder te stoppen, zodat de hele structuur in je hoofd blijft. Je zet een letter op de breedte. De lengte is x plus drie, omdat de tekst dat zegt. Je werkt de haakjes weg. Je ordent de vergelijking en laat rechts de nul staan. Je rekent de discriminant uit en trekt er de wortel uit. En van de twee oplossingen die eruit komen, hou je die die zin heeft in de som. De breedte is vijf meter. En kijk nu naar de acht-val, de beste van alle die hier zitten: de acht komt uit de vergelijking en is een volkomen correct getal, maar het is de lengte, niet de breedte. Het is de klassieke fout van antwoorden zonder nog eens te lezen wat er precies gevraagd werd.

De vier stappen

Laten we de vier stappen doornemen, die altijd dezelfde zullen zijn. Eén: de vergelijking ordenen en rechts de nul laten staan, en de drie letters met hun tekens opschrijven. Twee: de discriminant uitrekenen, b kwadraat min vier a c, en naar zijn teken kijken om te weten hoeveel oplossingen je gaat hebben. Drie: ontbreekt er een term in de vergelijking, gebruik de formule dan niet, haal buiten haakjes of stel direct om, dat gaat aanzienlijk sneller. En vier: altijd controleren door je oplossing in de vergelijking te zetten, en dat moet je nul geven. Oefen het op tutoriolab.com, schuine streep n l, schuine streep oefeningen, schuine streep kwadratische vergelijkingen.

Als dit je geholpen heeft, abonneer je.

Lees hierna deze

Btw berekenen

Hoe je een foto kleiner maakt in bestandsgrootte

Een te zware PDF comprimeren

Wachtwoord van een PDF verwijderen

Pagina's uit een PDF halen

x oplossen, stap voor stap