Quadratische Gleichungen, von null an

Jede quadratische Gleichung lässt sich als ax² + bx + c = 0 ordnen und mit einer Formel lösen: x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a. Das Vorzeichen gehört zur Zahl — in x² − 5x + 6 = 0 ist b gleich −5, nicht 5 — und −b wird dann +5, und genau dort liegen die meisten daneben. Der Teil unter der Wurzel ist die DISKRIMINANTE (Δ = b² − 4ac) und sie sagt dir die Anzahl der Lösungen, bevor du rechnest: positiv gibt zwei, null gibt eine doppelte, negativ gibt keine reelle. Fehlt ein Glied, ist die Formel überflüssig: ohne c ausklammern (2x² − 8x = 0 → x = 0 und x = 4) und ohne b umstellen und die Wurzel ziehen, die zwei Vorzeichen hat (x² = 9 → x = 3 und x = −3). Und immer die Probe: deine Lösung eingesetzt muss null ergeben.

Quadratische Gleichungen, von null an und ohne etwas zu überspringen.

Was eine quadratische Gleichung ist

Fangen wir ganz vorne an, denn ich möchte nichts voraussetzen. Eine Gleichung ist eine Gleichheit, in der ein Buchstabe steht, und sie zu lösen heißt herauszufinden, welche Zahl sich hinter diesem Buchstaben versteckt. Wenn der Buchstabe quadriert vorkommt und nichts höher als das potenziert ist, sagen wir, die Gleichung ist quadratisch. Daher kommt der Name: von der kleinen Zwei oben. Und alle, ohne Ausnahme, lassen sich in diese Form bringen: a x Quadrat, plus b x, plus c, gleich null.

Wer a, b und c sind

Jetzt sprechen wir über diese drei Buchstaben, denn sie sind keine Unbekannten: sie sind die Zahlen, die du schon bekommst, und du musst wissen, welche welche ist, bevor du irgendetwas anfasst. Hier ist die Gleichung, die uns das ganze Video begleiten wird: x Quadrat, minus fünf x, plus sechs, gleich null. Das a ist die Zahl, die das x Quadrat multipliziert. Und hier passiert etwas, das viele verwirrt: vor dem x Quadrat steht keine Zahl. Sieh genau hin, denn wenn keine Zahl da steht, heißt das, dass dort eine Eins steht, denn x Quadrat bedeutet dasselbe wie eins mal x Quadrat. Das a ist eins wert. Das b ist die Zahl, die das einfache x multipliziert, und hier steht minus fünf. Und jetzt das Wichtigste im ganzen Video: das Vorzeichen gehört zur Zahl dazu. Das b ist nicht fünf: es ist minus fünf, mit seinem Minus. Und das c ist die Zahl, die allein steht, ohne x daneben: hier ist es sechs.

Die Mitternachtsformel

Mit diesen drei Zahlen kannst du schon die Mitternachtsformel benutzen, die immer dieselbe ist, für jede quadratische Gleichung der Welt. Sie lautet so, und wir lesen sie langsam, bevor wir sie benutzen, denn wenn du sie nicht verstehst, wirst du sie nicht richtig anwenden können. x gleich: minus b, plus oder minus die Quadratwurzel aus, b Quadrat minus vier a c, und das alles geteilt durch zwei a. Sehen wir uns ihre drei Teile getrennt an. Hier, minus b. Hier unter der Wurzel, b Quadrat minus vier a c. Und hier unten, dividierend, zwei a. Und dieses plus oder minus in der Mitte heißt nicht, dass wir unsicher sind: es ist eine Anweisung. Es heißt, dass die Rechnung zweimal gemacht wird, einmal addierend und einmal subtrahierend, und deshalb kommen zwei Lösungen heraus und nicht nur eine.

Die Zahlen einsetzen

Setzen wir unsere Zahlen ein, eine nach der anderen, ohne Hast. Wir fangen mit minus b an. Unser b ist minus fünf wert, minus b ist also minus, minus fünf. Und hier steckt der häufigste Fehler des ganzen Themas, halte also eine Sekunde an und sieh ihn dir richtig an: wenn du zwei Minuszeichen hintereinander hast, ist das Ergebnis positiv. Minus, minus fünf, ist plus fünf. Wenn du hier bei minus fünf bleibst, wird alles, was du danach machst, falsch, so gut du den Rest der Rechnung auch machst. Es ist der Fehler, den ich am meisten sehe. Und jetzt das unten, das zwei a: das a ist eins wert, zwei mal eins ist also zwei. Der Nenner unseres Bruchs ist zwei.

Was unter der Wurzel steht

Jetzt das, was unter der Wurzel steht, und das hat zwei Stücke, die wir getrennt machen. Das erste Stück ist b Quadrat. Unser b ist minus fünf wert, b Quadrat ist also minus fünf zum Quadrat, das heißt minus fünf multipliziert mit minus fünf. Wieder zwei negative Zahlen, die sich multiplizieren: das Ergebnis ist positiv. Fünfundzwanzig. Das zweite Stück ist vier a c, und das heißt vier mal a mal c, alle drei multipliziert: vier mal eins mal sechs. Vier mal eins ist vier. Vier mal sechs ist vierundzwanzig. Und jetzt werden sie subtrahiert, in dieser Reihenfolge, das erste minus das zweite: fünfundzwanzig minus vierundzwanzig ist eins. Unter der Wurzel bleibt eine Eins, und die Quadratwurzel aus eins ist eins, denn eins mal eins ist eins.

Die zwei Lösungen

Wir haben schon alle Stücke. Es bleibt die Rechnung: fünf, plus oder minus eins, geteilt durch zwei. Und jetzt machen wir die zwei Fassungen, und genau darum hat dieses plus oder minus gebeten. Zuerst mit dem Plus: fünf plus eins ist sechs, und sechs durch zwei ist drei. Das ist eine der Lösungen. Jetzt mit dem Minus: fünf minus eins ist vier, und vier durch zwei ist zwei. Das ist die andere. Die beiden Lösungen unserer Gleichung sind drei und zwei. Und achte darauf, dass beide glatte, ganze Zahlen geworden sind: wenn sie so rund herauskommen, ist das meistens ein gutes Zeichen, dass du auf dem richtigen Weg bist.

Selbst nachprüfen

Und jetzt zeige ich dir etwas, das fast niemand erklärt und das dir in jeder Klassenarbeit deines Lebens dient: wie du selbst weißt, ob du es richtig gemacht hast, ohne jemanden zu fragen und ohne ins Lösungsheft zu schauen. Es ist ganz einfach. Du nimmst deine Lösung, setzt sie in die ursprüngliche Gleichung an die Stelle ein, wo das x steht, und rechnest. Wenn null herauskommt, ist diese Lösung richtig. Probieren wir es mit der drei. Drei zum Quadrat ist neun. Minus fünf mal drei ist fünfzehn, es steht also minus fünfzehn. Und dann plus sechs. Also: neun, minus fünfzehn, plus sechs. Neun minus fünfzehn ist minus sechs, und minus sechs plus sechs ist null. Es ergibt null. Jetzt probieren wir die zwei: vier, minus zehn, plus sechs, und das ist auch null. Beide sind Lösungen.

Übung 1, Schritt für Schritt

Machen wir die erste Übung, und wir lösen sie gemeinsam an der Tafel, bevor wir irgendetwas anfassen. x Quadrat, minus sieben x, plus zwölf, gleich null, und gefragt ist die größere Lösung. Zuerst die Buchstaben, wie immer: das a ist eins wert, denn vor dem x Quadrat steht keine Zahl; das b ist minus sieben wert, mit seinem Vorzeichen; und das c ist zwölf wert. Jetzt die Diskriminante. b Quadrat ist minus sieben zum Quadrat, und da sich zwei negative Zahlen multiplizieren, kommt es positiv heraus: neunundvierzig. Vier a c ist vier mal eins mal zwölf, und das sind achtundvierzig. Neunundvierzig minus achtundvierzig ist eins, und die Wurzel aus eins ist eins. Minus b, mit b gleich minus sieben, ist plus sieben. Mit dem Plus: sieben plus eins ist acht, durch zwei, vier. Mit dem Minus: sieben minus eins ist sechs, durch zwei, drei. Gefragt ist die größere der beiden, die Antwort ist also vier. Und jetzt, ja, markiere ich sie.

Kostenlos üben

Und ich möchte, dass du dir das hier rechts genau ansiehst, denn es ist unseres und es ist kostenlos. Es ist eine Übungsseite: tutoriolab.com, schrägstrich d e, schrägstrich uebungen, schrägstrich quadratische gleichungen. Jedes Mal, wenn du hineingehst, bekommst du andere Gleichungen, du kannst also so oft üben, wie du willst, ohne dass sich etwas wiederholt. Und was wirklich zählt: wenn du eine falsch hast, wirft es dir nicht einfach ein Falsch hin und lässt dich stehen, wo du warst. Es sagt dir, welchen Fehler du gemacht hast, mit Namen, und es zeigt dir die ausgerechnete Rechnung Schritt für Schritt.

Was die Diskriminante ist

Jetzt geben wir einem Teil der Formel einen Namen, denn du wirst ihn oft hören. Was unter der Wurzel steht, b Quadrat minus vier a c, heißt die Diskriminante. Man schreibt sie mit einem griechischen Buchstaben, der wie ein Dreieck aussieht und Delta heißt. Und der Name ist keine Laune: diese Zahl allein sagt dir, wie viele Lösungen du finden wirst, bevor du anfängst, sie auszurechnen. Deshalb lohnt es sich, sie zuerst auszurechnen: zehn Sekunden hinsehen und du weißt schon, ob es etwas zu suchen gibt oder gar nichts.

Die drei Fälle

Und es gibt drei Fälle, mehr nicht. Kommt die Diskriminante positiv heraus, also größer als null, dann gibt es zwei verschiedene Lösungen: so war es bei uns, wir hatten eins. Kommt sie genau null heraus, dann gibt es eine einzige Lösung, und die heißt doppelte Lösung. Und kommt sie negativ heraus, gibt es überhaupt keine reelle Lösung. Der Grund ist einfach und ich möchte, dass du ihn verstehst, statt ihn auswendig zu lernen: du müsstest die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ziehen, und die gibt es nicht, denn jede Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt positiv. Sieh dir dieses Beispiel an: x Quadrat plus zwei x plus fünf. b Quadrat ist vier; vier a c ist vier mal eins mal fünf, zwanzig; und vier minus zwanzig ergibt minus sechzehn. Negativ. Diese Gleichung hat keine Lösung, und wir wussten es, ohne irgendetwas anderes zu rechnen.

Wenn das lose Glied fehlt

Jetzt ein Fall, nach dem sehr viel gesucht wird und den fast niemand richtig erklärt: was passiert, wenn die Gleichung unvollständig ist, also wenn eines der drei Glieder fehlt. Und was ich dir zeigen möchte, ist, dass die Formel dort überflüssig ist, weil es ohne sie schneller geht. Erster Fall: das lose Glied fehlt, es gibt kein c. Zum Beispiel zwei x Quadrat minus acht x gleich null. Achte darauf, dass beide Glieder ein x tragen, wir können das x also ausklammern: zwei x, mal, x minus vier. Und jetzt benutzen wir etwas, das du seit der Grundschule weißt: wenn du zwei Dinge multiplizierst und null herauskommt, dann muss eines der beiden null sein. Also ist entweder das zwei x null, und dann ist x null wert, oder das x minus vier ist null, und dann ist x vier wert. Zwei Lösungen, null und vier, ohne die Formel benutzt zu haben. Und merk dir das: wenn das c fehlt, wird null immer eine der Lösungen sein.

Wenn das einfache x fehlt

Und jetzt der zweite Fall: jetzt fehlt das einfache x, es gibt kein b. Zum Beispiel zwei x Quadrat minus achtzehn gleich null. Hier können wir nichts ausklammern, denn die achtzehn trägt kein x. Also stellt man sie um wie jede normale Gleichung. Wir bringen die achtzehn auf die andere Seite, und beim Hinübergehen wechselt sie das Vorzeichen, drüben addiert sie also: zwei x Quadrat gleich achtzehn. Jetzt multipliziert die zwei, sie geht also dividierend auf die andere Seite: x Quadrat gleich achtzehn durch zwei, und das ist neun. Und es bleibt nur noch, das Quadrat vom x wegzubekommen, und das macht man, indem man die Wurzel zieht. Und hier ist die Falle, die einen halben Punkt kostet: die Wurzel aus neun ist drei, ja, aber sie ist auch minus drei. Denn minus drei mal minus drei ergibt auch neun. Es gibt zwei Lösungen: drei und minus drei.

Eine Textaufgabe

Und jetzt zu dem, was in Klassenarbeiten wirklich vorkommt, und das ist fast nie eine fertig hingeschriebene Gleichung: es ist eine Textaufgabe, die du selbst in eine Gleichung verwandeln musst. Diese hier: ein Rechteck ist drei Meter länger als breit, und seine Fläche beträgt vierzig Quadratmeter. Wie breit ist es? Der erste Schritt, und er ist der schwerste von allen, ist, dem Unbekannten einen Buchstaben zu geben. Gefragt ist die Breite, wir sagen also, die Breite ist x. Und jetzt pass auf, denn hier verlieren viele den Faden: die Länge ist kein zweiter neuer Buchstabe. Der Text sagt uns, die Länge sei drei Meter mehr als die Breite, die Länge ist also x plus drei. Mit einem einzigen Buchstaben haben wir beide Seiten beschrieben.

Die Gleichung aufstellen

Jetzt stellen wir die Gleichung auf. Die Fläche eines Rechtecks ist die Breite multipliziert mit der Länge, und uns wird gesagt, sie beträgt vierzig: x, mal, x plus drei, gleich vierzig. Wir lösen die Klammer auf: x mal x ist x Quadrat, und x mal drei ist drei x. Es bleibt x Quadrat plus drei x gleich vierzig. Und jetzt muss sie geordnet werden, denn die Formel funktioniert nur, wenn rechts eine Null steht: wir bringen die vierzig subtrahierend auf die andere Seite. x Quadrat plus drei x minus vierzig gleich null. Jetzt ist sie bereit für die Formel.

Lösen und auswählen

Wir holen die Buchstaben heraus: das a ist eins wert, das b ist drei wert und das c ist minus vierzig wert. Zur Diskriminante. Drei zum Quadrat ist neun. Und vier a c ist vier mal eins mal minus vierzig, und das ergibt minus hundertsechzig. Und Achtung hier, denn das ist noch so eine Stelle, an der viele danebenliegen: eine negative Zahl abzuziehen heißt in Wirklichkeit addieren. Neun plus hundertsechzig, hundertneunundsechzig. Die Wurzel aus hundertneunundsechzig ist dreizehn, und die lohnt sich zu wissen. Die zwei Lösungen kommen so heraus: minus drei plus dreizehn, durch zwei, fünf; und minus drei minus dreizehn, durch zwei, minus acht. Und jetzt kommt das, was jemanden, der die Aufgabe verstanden hat, von jemandem trennt, der nur gerechnet hat: eine Seite eines Rechtecks kann keine minus acht Meter messen, diese Lösung wird also verworfen. Die Breite ist fünf. Und wir prüfen es: wenn die Breite fünf ist, ist die Länge acht, und fünf mal acht ist vierzig.

Übung 2, Schritt für Schritt

Zweite und letzte Übung, und es ist dieselbe Aufgabe. Ich möchte, dass du den ganzen Weg noch einmal in einem Zug siehst, ohne anzuhalten, damit dir die ganze Struktur im Kopf bleibt. Du gibst der Breite einen Buchstaben. Die Länge ist x plus drei, weil der Text es so sagt. Du löst die Klammer auf. Du ordnest die Gleichung und lässt rechts die Null stehen. Du rechnest die Diskriminante aus und ziehst ihre Wurzel. Und von den zwei Lösungen, die herauskommen, behältst du die, die in der Aufgabe Sinn ergibt. Die Breite ist fünf Meter. Und jetzt sieh dir die Achter-Falle an, die beste von allen hier: die acht kommt aus der Gleichung und ist eine völlig richtige Zahl, aber sie ist die Länge, nicht die Breite. Es ist der klassische Fehler, zu antworten, ohne noch einmal nachzulesen, wonach genau gefragt war.

Die vier Schritte

Gehen wir die vier Schritte durch, die immer dieselben sein werden. Erstens: die Gleichung ordnen und rechts die Null stehen lassen, und die drei Buchstaben mit ihren Vorzeichen aufschreiben. Zweitens: die Diskriminante ausrechnen, b Quadrat minus vier a c, und auf ihr Vorzeichen sehen, um zu wissen, wie viele Lösungen du haben wirst. Drittens: fehlt der Gleichung ein Glied, benutze die Formel nicht, klammere aus oder stelle direkt um, was deutlich schneller geht. Und viertens: immer die Probe machen, indem du deine Lösung in die Gleichung einsetzt, und es muss null herauskommen. Übe es auf tutoriolab.com, schrägstrich d e, schrägstrich uebungen, schrägstrich quadratische gleichungen.

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