kgV und ggT: welches wird gefragt?
Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Zahl, die genau in beide passt; das kleinste gemeinsame Vielfache ist die kleinste, die beide enthält. Mit 12 und 18: ggT 6 und kgV 36. Mit der Primfaktorzerlegung (12 = 2²·3 und 18 = 2·3²) nimmt der ggT die gemeinsamen Faktoren mit dem kleineren Exponenten und das kgV alle mit dem größeren, und es kommen dieselben 6 und 36 heraus. Probe: ggT × kgV = die beiden Zahlen multipliziert (6 × 36 = 12 × 18 = 216). Um zu wissen, welches gefragt ist: muss die Antwort größer sein, ist es das kgV; kleiner, der ggT.
kgV und ggT. Und vor allem: welches von beiden gefragt ist.
Übung 1: der ggT von 12 und 18
Wir fangen mit einer Aufgabe an, nicht mit Theorie. Rechts siehst du das Werkzeug, mit dem wir das ganze Video arbeiten, und es fragt uns nach dem größten gemeinsamen Teiler von zwölf und achtzehn. Nehmen wir es in Teilen und fangen mit dem mittleren Wort an. Ein Teiler einer Zahl ist eine andere Zahl, die genau in sie hineinpasst, ohne Rest. Vier ist ein Teiler von zwölf, denn drei mal vier ist zwölf, genau. Fünf ist keiner, denn zwei mal fünf ist zehn und drei mal fünf ist fünfzehn: sie bleibt darunter oder geht darüber. Die Teiler von zwölf sind also diese sechs: eins, zwei, drei, vier, sechs und zwölf. Und die von achtzehn sind diese: eins, zwei, drei, sechs, neun und achtzehn. Achte darauf, dass die vier hier nicht steht, denn vier geht in achtzehn nicht genau auf. Jetzt das Wort gemeinsam, und das heißt, es steht in beiden Listen. Schau: die eins steht in beiden. Die zwei auch. Die drei auch. Und die sechs auch. Die vier nicht, denn sie steht nur oben. Die neun auch nicht, denn sie steht nur unten. Und schließlich größter: der größte von diesen vieren. Die sechs. Größter gemeinsamer Teiler von zwölf und achtzehn, sechs. Und wichtig ist nicht die sechs: wichtig ist, dass der Name dir bei jedem Schritt gesagt hat, was zu tun war.
Übung 2: das kgV von 12 und 18
Zweite Übung, und pass auf, denn es sind genau dieselben zwei Zahlen: jetzt wird nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von zwölf und achtzehn gefragt. Wieder in Teilen. Ein Vielfaches einer Zahl ist diese Zahl mit etwas multipliziert: mit eins, mit zwei, mit drei, mit was auch immer. Die Vielfachen von zwölf sind zwölf, vierundzwanzig, sechsunddreißig, achtundvierzig, und sie gehen ewig weiter. Die von achtzehn sind achtzehn, sechsunddreißig, vierundfünfzig, und die gehen auch ewig weiter. Gemeinsam, genau wie vorher: das, was in beiden Listen steht. Und da ist es, die sechsunddreißig, die oben auftaucht und unten auftaucht. Und kleinstes heißt das kleinste der gemeinsamen. Würden wir weiterschreiben, fänden wir zweiundsiebzig, das auch in beiden steht, und hundertacht; aber das erste, das auftaucht, ist sechsunddreißig. Halte jetzt eine Sekunde an und sieh dir an, was gerade passiert ist. Dieselben zwei Zahlen. Zwei verschiedene Fragen. Sechs und sechsunddreißig. Und es gibt einen Grund dafür, dass das eine klein und das andere groß ist: der Teiler muss in sie hineinpassen, er darf also nicht darüber hinausgehen. Das Vielfache muss sie enthalten, es darf also nicht darunter bleiben. Wenn du eine einzige Idee aus diesem Video mitnimmst, dann diese.
Selbst üben
Und einen Moment, bevor wir weitermachen. Das Werkzeug, das du rechts siehst, ist unseres und es ist kostenlos: tutoriolab.com, schrägstrich d e, schrägstrich uebungen, schrägstrich kgv und ggt. Benutze es. Es gibt keinen Weg, auf dem das besser hängen bleibt als durchs Üben, denn Gelesenes vergisst man und Gemachtes nicht. Und jedes Mal, wenn du hineingehst, bekommst du andere Aufgaben.
Warum Abzählen nicht immer geht
Mit zwölf und achtzehn funktioniert das Abzählen. Versuch es mit vierundachtzig und hundertsechsundzwanzig und du siehst das Problem: alle Teiler beider Zahlen aufzuschreiben dauert eine ganze Weile, und du musst nur einen überspringen, damit die Antwort falsch wird, ohne dass du es merkst. Es braucht eine Methode, die nicht davon abhängt, ganze Listen zu schreiben. Und es gibt eine, aber zuerst muss man lernen, die Zahlen zu zerlegen.
Die Zahlen zerlegen
Eine Zahl in Primfaktoren zu zerlegen klingt viel schlimmer, als es ist: es heißt, sie als Multiplikation von Zahlen zu schreiben, die sich nicht weiter zerlegen lassen. Machen wir die zwölf. Lässt sie sich durch zwei teilen? Ja: sechs. Und die sechs durch zwei? Ja: drei. Und die drei? Nicht mehr, denn die drei lässt sich nur durch eins und durch sich selbst teilen. Zwölf ist also zwei, mal zwei, mal drei. Und wenn sich eine Zahl wiederholt, schreibt man es kurz, mit einer kleinen Zahl oben, die Exponent heißt: zwei hoch zwei, mal drei. Diese kleine Zwei oben ist keine weitere Zwei, die multipliziert: sie zählt, wie oft die Zwei vorkommt. Jetzt machen wir die achtzehn. Achtzehn durch zwei, neun. Die neun lässt sich nicht mehr durch zwei teilen, aber durch drei: es gibt drei. Und drei durch drei, eins. Achtzehn ist also zwei, mal drei, mal drei: zwei, mal drei hoch zwei. Hier wiederholt sich die drei. Und das ist das Schöne: jede Zahl zerlegt sich auf genau eine mögliche Weise, es gibt keine zwei Wege. Deshalb ist diese Zerlegung ihr Fingerabdruck.
Die ggT-Regel
Mit den beiden Fingerabdrücken vor uns kommt der größte gemeinsame Teiler in zwei Schritten heraus. Schritt eins: man nimmt nur die Faktoren, die in beiden stehen. Die zwei steht in beiden. Die drei steht in beiden. Schritt zwei: von jedem den kleinsten Exponenten. Die zwei ist in der zwölf quadriert und in der achtzehn allein, ich nehme also die kleine: eine zwei. Die drei ist in der zwölf allein und in der achtzehn quadriert, ich nehme also wieder die kleine: eine drei. Zwei mal drei, sechs. Und sieh dir diese sechs genau an: es ist genau dieselbe, die vor zwei Minuten beim Abzählen der Teiler herauskam. Die schnelle Methode und die langsame geben dasselbe, und deshalb kannst du ihr trauen. Und der Grund für den kleinen Exponenten ist dieser: der größte gemeinsame Teiler muss in beide Zahlen hineinpassen. Nähme ich zwei hoch zwei, passähe es nicht in die achtzehn, die nur eine zwei hat. Man kann nicht mehr ausgeben, als der Ärmste hat.
Die kgV-Regel
Das kleinste gemeinsame Vielfache ist dieselbe Regel andersherum. Schritt eins: man nimmt alle Faktoren, ob sie in beiden Fingerabdrücken stehen oder nur in einem. Schritt zwei: von jedem den größten Exponenten. Die zwei ist in der zwölf quadriert und in der achtzehn allein: ich nehme die quadrierte. Die drei ist in der zwölf allein und in der achtzehn quadriert: ich nehme die quadrierte. Zwei hoch zwei mal drei hoch zwei: vier mal neun, sechsunddreißig. Und wieder dasselbe: sechsunddreißig ist genau das, was beim Aufschreiben der Vielfachen von Hand herauskam. Und der Grund für den großen Exponenten: das Vielfache muss beide Zahlen ganz enthalten. Nähme ich nur eine drei, passähe die achtzehn nicht hinein, denn die achtzehn braucht zwei Dreier, um zu existieren. Darin liegt der ganze Unterschied zwischen den zwei Regeln: beim Teiler bestimmt der Arme, beim Vielfachen bestimmt der Reiche.
Die Probe
Und es gibt eine schöne Probe, die fast niemand beibringt. Der größte gemeinsame Teiler multipliziert mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen muss genau dasselbe ergeben wie die beiden Ausgangszahlen multipliziert. Gehen wir zum Rechner und sehen es mit unseren. Zuerst die sechs mal die sechsunddreißig, also der Teiler und das Vielfache, die wir gerade mit der Primfaktorzerlegung bekommen haben. Und es ergibt zweihundertsechzehn. Jetzt die beiden Ausgangszahlen, die zwölf und die achtzehn, miteinander multipliziert, um zu sehen, was herauskommt. Und es ergibt wieder zweihundertsechzehn. Es stimmt überein. Und das ist kein Zufall: untereinander teilen sie sich genau dieselben Faktoren, einer behält die kleinen Exponenten und das andere die großen, sie zu multiplizieren holt also alles zurück. Kämen diese beiden Zahlen nicht gleich heraus, wäre eines von beiden, das du ausgerechnet hast, falsch, und du weißt es, bevor du irgendetwas abgibst.
Übung 3: der ggT von 24 und 36
Dritte Übung, mit anderen Zahlen und jetzt mit der schnellen Methode, damit du siehst, dass du es kannst. Gefragt ist der größte gemeinsame Teiler von vierundzwanzig und sechsunddreißig. Zuerst die Fingerabdrücke. Vierundzwanzig: durch zwei, zwölf; durch zwei, sechs; durch zwei, drei. Drei Zweier und eine drei: zwei hoch drei mal drei. Sechsunddreißig: durch zwei, achtzehn; durch zwei, neun; die neun durch drei, drei; und drei durch drei, eins. Zwei hoch zwei mal drei hoch zwei. Und jetzt die Teilerregel: nur die gemeinsamen, mit dem kleinsten Exponenten. Die zwei ist hoch drei und hoch zwei: ich nehme die quadrierte. Die drei ist allein und quadriert: ich nehme die allein stehende. Zwei hoch zwei mal drei, vier mal drei, zwölf. Und prüf es im Kopf, das dauert eine Sekunde: zwölf passt genau zweimal in vierundzwanzig und genau dreimal in sechsunddreißig. Und keine Zahl, die größer als zwölf ist, schafft das.
Welches wird gefragt?
Und jetzt das, was wirklich schwerfällt, und das ist nicht das Rechnen. Es ist, eine Aufgabe zu lesen und zu wissen, welches von beiden gefragt ist, denn der Text sagt es nie mit diesen Worten. Die Regel ist kurz. Wenn sich etwas wiederholt und man warten muss, bis Dinge zusammentreffen, ist es das kleinste gemeinsame Vielfache: Busse, die kommen, Lichter, die blinken, Runden auf einer Bahn. Wenn etwas in gleiche Stücke geteilt wird und so groß wie möglich, ist es der größte gemeinsame Teiler: ein Band schneiden, in Tüten aufteilen, Gruppen bilden. Und es gibt einen Trick, um es zu prüfen, ohne sich die Regel zu merken: frag dich, ob die Antwort kleiner als die Zahlen der Aufgabe herauskommen muss oder größer. Wenn sie kleiner als die Zahlen herauskommen muss, ist es ein Teiler. Wenn sie größer sein muss, ist es ein Vielfaches.
Übung 4: der häufigste Fehler
Vierte und letzte, und ich mache sie absichtlich falsch. Ein Bus kommt alle zwölf Minuten und ein anderer alle achtzehn, und gerade sind sie an der Haltestelle zusammengetroffen. Wann treffen sie wieder zusammen? Sie wiederholen sich und wir warten darauf, dass sie sich treffen, es ist also das kleinste gemeinsame Vielfache. Und nach dem Trick von vorhin: die Antwort muss größer als achtzehn sein, denn wir müssen warten. Jetzt der häufigste Fehler von allen: sie zu multiplizieren. Zwölf mal achtzehn, zweihundertsechzehn. Ich wähle sie. Und sieh, was es antwortet: dass diese zweihundertsechzehn zwar ein Vielfaches von beiden ist, aber nicht das kleinste, denn sie treffen sich viel früher. Es sagt nicht falsch und lässt mich stehen, wo ich war: es sagt mir, was ich falsch gemacht habe. Die Antwort ist sechsunddreißig, die wir schon ausgerechnet hatten. Und prüf es: sechsunddreißig durch zwölf sind drei ganze Fahrten des ersten, und sechsunddreißig durch achtzehn sind zwei ganze Fahrten des zweiten. Beide kommen genau an, ohne Kommastellen. Das ist Zusammentreffen.
Zusammenfassung
Fassen wir zusammen. Teiler: er passt hinein, und der größte gemeinsame Teiler ist der größte, der in beide passt. Vielfaches: es enthält sie, und das kleinste gemeinsame Vielfache ist das kleinste, das beide enthält. Mit Primfaktoren nimmt der Teiler die gemeinsamen mit dem kleinen Exponenten und das Vielfache alle mit dem großen. Und um zu wissen, welches gefragt ist, frag dich, ob die Antwort größer oder kleiner herauskommt. Übe es auf tutoriolab.com, schrägstrich d e, schrägstrich uebungen, schrägstrich kgv und ggt: sie kommen jedes Mal anders heraus und sie sagen dir, welchen Fehler du gemacht hast.
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Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen kgV und ggT?
Der ggT passt IN beide Zahlen hinein, er ist also klein; das kgV ENTHÄLT beide, es ist also groß. Bei 12 und 18 ist der ggT 6 und das kgV 36 — dieselben zwei Zahlen, zwei verschiedene Fragen.
Wie berechnet man sie mit der Primfaktorzerlegung?
Beide Zahlen zerlegen (12 = 2²·3, 18 = 2·3²). Für den ggT nur die gemeinsamen Faktoren nehmen, jeden mit dem kleineren Exponenten: 2·3 = 6. Für das kgV alle Faktoren nehmen, jeden mit dem gröÞeren Exponenten: 2²·3² = 36.
Warum nimmt der ggT den kleineren Exponenten?
Weil er in beide Zahlen hineinpassen muss. Nähme man 2², passähe es nicht in 18, die nur eine 2 hat. Man kann nicht mehr ausgeben, als der Ärmste hat. Beim kgV ist es umgekehrt: es muss sie enthalten, also bestimmt der Reichste.
Woran erkenne ich, welches in einer Textaufgabe gefragt ist?
Wiederholt sich etwas und man wartet auf ein Treffen — Busse, Lichter, Runden —, ist es das kgV. Wird etwas in gleiche, möglichst große Stücke geteilt — Band, Tüten, Gruppen —, ist es der ggT. Der schnelle Trick: muss die Antwort größer als die Zahlen sein, ist es ein Vielfaches; kleiner, ein Teiler.
Wie kann ich mein Ergebnis prüfen?
ggT × kgV muss dasselbe ergeben wie die beiden Zahlen multipliziert. Bei 12 und 18: 6 × 36 = 216 und 12 × 18 = 216. Stimmen diese beiden nicht überein, ist eines von beiden falsch, und du weißt es, bevor du irgendetwas abgibst.
Gibt es Übungen zum Trainieren?
Ja, und sie sind kostenlos: tutoriolab.com/de/uebungen/kgv-und-ggt. Du bekommst jedes Mal neue Zahlen — ggT, kgV und Textaufgaben — und wenn du eine falsch hast, sagt es nicht "falsch": es sagt dir, welchen Fehler du gemacht hast, und zeigt dir die ausgerechnete Rechnung.
