Équations du second degré, de zéro

Toute équation du second degré peut se ranger en ax² + bx + c = 0 et se résoudre avec une seule formule : x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a. Le signe est collé au nombre — dans x² − 5x + 6 = 0 le b vaut −5, pas 5 — et −b devient alors +5, et c'est là que la plupart se trompent. La partie sous la racine est le DISCRIMINANT (Δ = b² − 4ac) et il te dit le nombre de solutions avant tout calcul : positif donne deux, zéro donne une solution double, négatif n'en donne aucune réelle. S'il manque un terme la formule est inutile : sans c on met en facteur commun (2x² − 8x = 0 → x = 0 et x = 4) et sans b on isole et on prend la racine, qui a deux signes (x² = 9 → x = 3 et x = −3). Et vérifie toujours : ta solution remise dans l'équation doit donner zéro.

Équations du second degré, de zéro et sans rien sauter.

Ce qu'est une équation du second degré

Commençons par le tout début, parce que je ne veux rien supposer. Une équation est une égalité avec une lettre dedans, et la résoudre c'est trouver quel nombre se cache derrière cette lettre. Quand la lettre apparaît au carré, et qu'il n'y a rien élevé à plus que ça, on dit que l'équation est du second degré. C'est de là que vient le nom : du petit deux en haut. Et toutes, sans exception, peuvent se ranger sous cette forme : a x au carré, plus b x, plus c, égale zéro.

Qui sont a, b et c

Parlons maintenant de ces trois lettres, parce que ce ne sont pas des inconnues : ce sont les nombres qu'on te donne déjà, et tu dois savoir qui est qui avant de toucher à quoi que ce soit. Voici l'équation qui va nous accompagner toute la vidéo : x au carré, moins cinq x, plus six, égale zéro. Le a est le nombre qui multiplie le x au carré. Et ici il se passe une chose qui embrouille beaucoup de monde : devant le x au carré il n'y a aucun nombre écrit. Regarde bien, parce que quand il n'y a pas de nombre, ça veut dire qu'il y a un un, puisque x au carré veut dire la même chose que un fois x au carré. Le a vaut un. Le b est le nombre qui multiplie le x tout seul, et ici il est écrit moins cinq. Et maintenant le plus important de toute la vidéo : le signe est collé au nombre. Le b ne vaut pas cinq : il vaut moins cinq, avec son moins compris. Et le c est le nombre qui reste seul, sans x à côté : ici c'est six.

La formule du second degré

Avec ces trois nombres tu peux déjà utiliser la formule du second degré, qui est toujours la même, pour n'importe quelle équation du second degré du monde. La voici, et on va la lire lentement avant de l'utiliser, parce que si tu ne la comprends pas tu ne sauras pas bien t'en servir. x égale : moins b, plus ou moins la racine carrée de, b au carré moins quatre a c, et tout ça divisé par deux a. Regardons ses trois parties séparément. Ici, moins b. Ici sous la racine, b au carré moins quatre a c. Et ici en bas, qui divise, deux a. Et ce plus ou moins au milieu ne veut pas dire qu'on hésite : c'est une instruction. Ça veut dire que le calcul se fait deux fois, une en additionnant et une en soustrayant, et c'est pour ça qu'il sort deux solutions et pas une seule.

Mettre les nombres

Mettons nos nombres, un par un, sans se presser. On commence par moins b. Notre b vaut moins cinq, donc moins b, c'est moins, moins cinq. Et voici l'erreur la plus fréquente de tout le sujet, alors arrête-toi une seconde et regarde-la bien : quand tu as deux signes moins à la suite, le résultat est positif. Moins, moins cinq, ça fait plus cinq. Si tu restes ici avec moins cinq, tout ce que tu feras ensuite sera faux, même si tu fais parfaitement le reste du calcul. C'est l'erreur que je vois le plus. Et maintenant celui du bas, le deux a : le a vaut un, donc deux fois un font deux. Le dénominateur de notre fraction est deux.

Ce qu'il y a sous la racine

Maintenant ce qu'il y a sous la racine, qui a deux morceaux et qu'on va faire séparément. Le premier morceau est b au carré. Notre b vaut moins cinq, donc b au carré c'est moins cinq au carré, c'est-à-dire moins cinq multiplié par moins cinq. Encore deux nombres négatifs qui se multiplient : le résultat est positif. Vingt-cinq. Le deuxième morceau est quatre a c, ce qui veut dire quatre fois a fois c, les trois multipliés : quatre fois un fois six. Quatre fois un font quatre. Quatre fois six font vingt-quatre. Et maintenant on les soustrait, dans cet ordre, le premier moins le deuxième : vingt-cinq moins vingt-quatre font un. Sous la racine il nous reste un un, et la racine carrée de un fait un, parce que un fois un font un.

Les deux solutions

On a déjà tous les morceaux. Il reste le calcul : cinq, plus ou moins un, divisé par deux. Et maintenant on fait les deux versions, c'est ce que demandait ce plus ou moins. D'abord avec le plus : cinq plus un font six, et six sur deux font trois. C'est une des solutions. Maintenant avec le moins : cinq moins un font quatre, et quatre sur deux font deux. C'est l'autre. Les deux solutions de notre équation sont trois et deux. Et remarque que les deux sont sorties entières et bien rondes : quand elles tombent aussi justes, c'est en général bon signe que tu es sur la bonne voie.

Vérifier soi-même

Et maintenant je vais te montrer quelque chose que presque personne n'explique et qui te servira à tous les contrôles de ta vie : comment savoir tout seul si tu as bien fait, sans demander à personne et sans regarder le corrigé. C'est très simple. Tu prends ta solution, tu la mets dans l'équation de départ à la place du x, et tu fais le calcul. Si ça donne zéro, cette solution est correcte. Essayons avec le trois. Trois au carré font neuf. Moins cinq fois trois font quinze, donc ça fait moins quinze. Et ensuite plus six. Donc : neuf, moins quinze, plus six. Neuf moins quinze font moins six, et moins six plus six font zéro. Ça donne zéro. Maintenant on essaie le deux : quatre, moins dix, plus six, ce qui fait aussi zéro. Les deux sont des solutions.

Exercice 1, pas à pas

Faisons le premier exercice, et on va le résoudre ensemble au tableau avant de toucher à quoi que ce soit. x au carré, moins sept x, plus douze, égale zéro, et on demande la plus grande solution. D'abord les lettres, comme toujours : le a vaut un, parce que devant le x au carré il n'y a aucun nombre écrit ; le b vaut moins sept, avec son signe collé ; et le c vaut douze. Maintenant le discriminant. b au carré c'est moins sept au carré, et comme ce sont deux négatifs qui se multiplient ça sort positif : quarante-neuf. Quatre a c c'est quatre fois un fois douze, ce qui fait quarante-huit. Quarante-neuf moins quarante-huit font un, et la racine de un fait un. Moins b, avec b qui vaut moins sept, fait plus sept. Avec le plus : sept plus un font huit, sur deux, quatre. Avec le moins : sept moins un font six, sur deux, trois. On demande la plus grande des deux, donc la réponse est quatre. Et maintenant, oui, je la marque.

S'entraîner gratuitement

Et je veux que tu regardes bien ceci à droite, parce que c'est à nous et c'est gratuit. C'est une page d'exercices : tutoriolab.com, barre f r, barre exercices, barre second degré. Chaque fois que tu y vas tu as des équations différentes, tu peux donc t'entraîner autant que tu veux sans que ça se répète. Et ce qui compte vraiment : quand tu te trompes, il ne te balance pas un incorrect en te laissant où tu en étais. Il te dit quelle erreur tu as faite, par son nom, et il te montre le calcul fait étape par étape.

Ce qu'est le discriminant

Maintenant on va donner un nom à une partie de la formule, parce que tu vas l'entendre souvent. Ce qu'il y a sous la racine, b au carré moins quatre a c, s'appelle le discriminant. Ça s'écrit avec une lettre grecque qui ressemble à un triangle et qui s'appelle delta. Et ce n'est pas un nom donné par caprice : ce nombre, à lui seul, te dit combien de solutions tu vas trouver avant de commencer à les calculer. C'est pour ça que ça vaut le coup de le sortir en premier : dix secondes à le regarder et tu sais déjà s'il y a quelque chose à chercher ou rien du tout.

Les trois cas

Et il y a trois cas, pas plus. Si le discriminant sort positif, c'est-à-dire plus grand que zéro, alors il y a deux solutions différentes : c'est ce qui nous est arrivé, on a eu un. S'il sort exactement zéro, alors il y a une seule solution, et celle-là s'appelle une solution double. Et s'il sort négatif, il n'y a aucune solution réelle. La raison est simple et je veux que tu la comprennes au lieu de l'apprendre par cœur : il faudrait prendre la racine carrée d'un nombre négatif, et ça n'existe pas, parce que n'importe quel nombre multiplié par lui-même donne du positif. Regarde cet exemple : x au carré plus deux x plus cinq. b au carré font quatre ; quatre a c font quatre fois un fois cinq, vingt ; et quatre moins vingt font moins seize. Négatif. Cette équation n'a pas de solution, et on le savait sans rien calculer d'autre.

S'il manque le terme seul

Maintenant un cas très recherché et que presque personne n'explique bien : ce qui se passe quand l'équation est incomplète, c'est-à-dire quand il manque un des trois termes. Et ce que je veux que tu voies, c'est que là la formule est inutile, parce que ça se résout plus vite sans elle. Premier cas : il manque le terme seul, il n'y a pas de c. Par exemple, deux x au carré moins huit x égale zéro. Remarque que les deux termes portent un x, on peut donc mettre le x en facteur commun : deux x, fois, x moins quatre. Et maintenant on utilise quelque chose que tu sais depuis l'école primaire : si tu multiplies deux choses et que le résultat est zéro, alors l'une des deux doit être zéro. Donc soit le deux x est zéro, et alors x vaut zéro, soit le x moins quatre est zéro, et alors x vaut quatre. Deux solutions, zéro et quatre, sans avoir utilisé la formule. Et note ça : quand il manque le c, zéro sera toujours une des solutions.

S'il manque le x tout seul

Et maintenant le deuxième cas : cette fois il manque le x tout seul, il n'y a pas de b. Par exemple, deux x au carré moins dix-huit égale zéro. Ici on ne peut pas mettre en facteur commun, parce que le dix-huit ne porte aucun x. Donc on isole comme n'importe quelle équation normale. On fait passer le dix-huit de l'autre côté, et en passant il change de signe, donc là-bas il additionne : deux x au carré égale dix-huit. Maintenant le deux multiplie, donc il passe de l'autre côté en divisant : x au carré égale dix-huit sur deux, ce qui fait neuf. Et il ne reste plus qu'à enlever le carré du x, ce qui se fait en prenant la racine. Et voici le piège qui coûte un demi-point : la racine de neuf fait trois, oui, mais elle fait aussi moins trois. Parce que moins trois fois moins trois font aussi neuf. Il y a deux solutions : trois et moins trois.

Un problème de contrôle

Et maintenant allons à ce qui tombe vraiment aux contrôles, qui n'est presque jamais une équation déjà écrite : c'est un problème que tu dois transformer toi-même en équation. Celui-ci : un rectangle est trois mètres plus long que large, et son aire est de quarante mètres carrés. Quelle est sa largeur ? La première étape, et c'est celle qui coûte le plus de toutes, c'est de mettre une lettre sur ce que tu ne connais pas. Ce qu'on nous demande c'est la largeur, donc on dit que la largeur est x. Et maintenant fais attention, parce que c'est ici que beaucoup se perdent : la longueur n'est pas une autre lettre nouvelle. L'énoncé nous dit que la longueur fait trois mètres de plus que la largeur, donc la longueur est x plus trois. Avec une seule lettre on a déjà décrit les deux côtés.

Monter l'équation

Maintenant on monte l'équation. L'aire d'un rectangle est la largeur multipliée par la longueur, et on nous dit qu'elle fait quarante : x, fois, x plus trois, égale quarante. On développe la parenthèse : x fois x font x au carré, et x fois trois font trois x. Il nous reste x au carré plus trois x égale quarante. Et maintenant il faut la ranger, parce que la formule ne marche que s'il y a un zéro à droite : on fait passer le quarante de l'autre côté en soustrayant. x au carré plus trois x moins quarante égale zéro. Elle est prête pour la formule.

La résoudre et choisir

On sort les lettres : le a vaut un, le b vaut trois et le c vaut moins quarante. Au discriminant. Trois au carré font neuf. Et quatre a c font quatre fois un fois moins quarante, ce qui donne moins cent soixante. Et attention ici, parce que c'est un autre endroit où l'on se trompe beaucoup : soustraire un nombre négatif, c'est en réalité additionner. Neuf plus cent soixante, cent soixante-neuf. La racine de cent soixante-neuf fait treize, et celle-là vaut la peine d'être sue. Les deux solutions sortent comme ça : moins trois plus treize, sur deux, cinq ; et moins trois moins treize, sur deux, moins huit. Et voici ce qui sépare quelqu'un qui a compris le problème de quelqu'un qui a seulement fait des calculs : un côté de rectangle ne peut pas mesurer moins huit mètres, cette solution est donc écartée. La largeur est cinq. Et on vérifie : si la largeur est cinq, la longueur est huit, et cinq fois huit font quarante.

Exercice 2, pas à pas

Deuxième et dernier exercice, et c'est ce même problème. Je veux que tu revoies tout le chemin d'une traite, sans t'arrêter, pour que la structure complète te reste en tête. Tu mets une lettre sur la largeur. La longueur est x plus trois, parce que l'énoncé le dit. Tu développes pour enlever la parenthèse. Tu ranges l'équation en laissant le zéro à droite. Tu calcules le discriminant et tu prends sa racine. Et des deux solutions qui sortent, tu gardes celle qui a du sens dans le problème. La largeur est cinq mètres. Et maintenant regarde le piège du huit, qui est le meilleur de tous ceux d'ici : le huit sort de l'équation et c'est un nombre parfaitement correct, mais c'est la longueur, pas la largeur. C'est l'erreur classique de répondre sans relire exactement ce qu'on te demandait.

Les quatre étapes

Passons en revue les quatre étapes, qui seront toujours les mêmes. Une : ranger l'équation en laissant le zéro à droite, et noter les trois lettres avec leurs signes collés. Deux : calculer le discriminant, b au carré moins quatre a c, et regarder son signe pour savoir combien de solutions tu vas avoir. Trois : s'il manque un terme à l'équation, n'utilise pas la formule, mets en facteur commun ou isole directement, c'est nettement plus rapide. Et quatre : vérifier toujours en mettant ta solution dans l'équation, ce qui doit te donner zéro. Entraîne-toi sur tutoriolab.com, barre f r, barre exercices, barre second degré.

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