PPCM et PGCD : lequel te demande-t-on ?
Le plus grand commun diviseur est le plus grand nombre qui tient exactement dans les deux ; le plus petit commun multiple est le plus petit qui les contient tous les deux. Avec 12 et 18 : PGCD 6 et PPCM 36. Avec les facteurs premiers (12 = 2²·3 et 18 = 2·3²), le PGCD prend les facteurs communs avec le plus petit exposant et le PPCM les prend tous avec le plus grand, et on retrouve les mêmes 6 et 36. Vérification : PGCD × PPCM = les deux nombres multipliés (6 × 36 = 12 × 18 = 216). Pour savoir lequel un problème demande : si la réponse doit être plus grande, c'est le PPCM ; plus petite, le PGCD.
PPCM et PGCD. Et surtout, lequel des deux on te demande.
Exercice 1 : le PGCD de 12 et 18
On commence par un exercice, pas par la théorie. À droite tu as l'outil avec lequel on va travailler toute la vidéo, et il nous demande le plus grand commun diviseur de douze et dix-huit. Prenons-le par morceaux, et commençons par le mot du milieu. Un diviseur d'un nombre est un autre nombre qui tient dedans exactement, sans rien qui reste. Quatre est un diviseur de douze, parce que trois fois quatre font douze, exactement. Cinq n'en est pas un, parce que deux fois cinq font dix et trois fois cinq font quinze : il reste en dessous ou il dépasse. Donc les diviseurs de douze sont ces six-là : un, deux, trois, quatre, six et douze. Et ceux de dix-huit sont ceux-ci : un, deux, trois, six, neuf et dix-huit. Remarque que le quatre n'est pas là, parce que quatre ne tient pas juste dans dix-huit. Maintenant le mot commun, qui veut dire qu'il est dans les deux listes. Regarde : le un est dans les deux. Le deux aussi. Le trois aussi. Et le six aussi. Le quatre non, parce qu'il n'est qu'en haut. Le neuf non plus, parce qu'il n'est qu'en bas. Et enfin, plus grand : le plus grand de ces quatre-là. Le six. Plus grand commun diviseur de douze et dix-huit, six. Et ce qui compte ce n'est pas le six : c'est que le nom te disait quoi faire à chaque étape.
Exercice 2 : le PPCM de 12 et 18
Deuxième exercice, et fais attention parce que ce sont exactement les deux mêmes nombres : maintenant on nous demande le plus petit commun multiple de douze et dix-huit. Par morceaux encore. Un multiple d'un nombre est ce nombre multiplié par quelque chose : par un, par deux, par trois, par n'importe quoi. Les multiples de douze sont douze, vingt-quatre, trente-six, quarante-huit, et ça continue à l'infini. Ceux de dix-huit sont dix-huit, trente-six, cinquante-quatre, et ça continue aussi. Commun, comme avant : celui qui est dans les deux listes. Et le voilà, le trente-six, qui apparaît en haut et apparaît en bas. Et plus petit veut dire le plus petit des communs. Si on continuait à écrire on trouverait soixante-douze, qui est aussi dans les deux, et cent huit ; mais le premier qui apparaît est trente-six. Maintenant arrête-toi une seconde et regarde ce qui vient de se passer. Les deux mêmes nombres. Deux questions différentes. Six et trente-six. Et il y a une raison pour que l'un soit petit et l'autre grand : le diviseur doit tenir dedans, il ne peut donc pas dépasser. Le multiple doit les contenir, il ne peut donc pas rester en dessous. Si tu ne retiens qu'une seule idée de cette vidéo, que ce soit celle-là.
Entraîne-toi toi-même
Et un instant avant de continuer. Cet outil que tu vois à droite est à nous et il est gratuit : tutoriolab.com, barre f r, barre exercices, barre ppcm et pgcd. Utilise-le. Il n'y a pas de meilleure façon que ça rentre qu'en t'entraînant, parce que lire ça s'oublie et le faire, non. Et chaque fois que tu y vas tu as des exercices différents.
Pourquoi compter ne suffit pas toujours
Avec douze et dix-huit, compter marche. Essaie de le faire avec quatre-vingt-quatre et cent vingt-six et tu verras le problème : écrire tous les diviseurs des deux prend un bon moment, et il suffit d'en sauter un pour que la réponse sorte fausse sans que tu le voies. Il faut une méthode qui ne dépende pas d'écrire des listes entières. Et il y en a une, mais il faut d'abord apprendre à décomposer les nombres.
Décomposer les nombres
Décomposer un nombre en facteurs premiers sonne bien pire que ça ne l'est : c'est l'écrire comme une multiplication de nombres qu'on ne peut plus décomposer. Faisons le douze. Peut-il être divisé par deux ? Oui : six. Et le six par deux ? Oui : trois. Et le trois ? Plus maintenant, parce que le trois ne peut être divisé que par un et par lui-même. Donc douze c'est deux, fois deux, fois trois. Et quand un nombre se répète on l'écrit court, avec un petit nombre en haut qui s'appelle un exposant : deux au carré, fois trois. Ce petit deux en haut n'est pas un autre deux qui multiplie : c'est le compte de combien de fois le deux y est. Maintenant faisons le dix-huit. Dix-huit par deux, neuf. Le neuf ne peut plus être divisé par deux, mais oui par trois : ça donne trois. Et trois par trois, un. Donc dix-huit c'est deux, fois trois, fois trois : deux, fois trois au carré. Ici c'est le trois qui se répète. Et voilà le plus beau : chaque nombre se décompose d'une seule façon possible, il n'y en a pas deux. C'est pour ça que cette décomposition est son empreinte.
La règle du PGCD
Avec les deux empreintes devant nous, le plus grand commun diviseur sort en deux étapes. Étape un : on prend seulement les facteurs qui sont dans les deux. Le deux est dans les deux. Le trois est dans les deux. Étape deux : de chacun, le plus petit exposant. Le deux est au carré dans le douze et tout seul dans le dix-huit, donc je garde le petit : un deux. Le trois est tout seul dans le douze et au carré dans le dix-huit, donc je garde encore le petit : un trois. Deux fois trois, six. Et regarde bien ce six : c'est exactement le même qui est sorti il y a deux minutes en comptant les diviseurs à la main. La méthode rapide et la lente donnent pareil, et c'est pour ça que tu peux lui faire confiance. Et la raison du petit exposant est celle-ci : le plus grand commun diviseur doit tenir dans les deux nombres. Si je prenais deux au carré, il ne tiendrait pas dans le dix-huit, qui n'a qu'un seul deux. On ne peut pas dépenser plus que ce qu'a le plus pauvre.
La règle du PPCM
Le plus petit commun multiple est la même règle à l'envers. Étape un : on prend tous les facteurs, qu'ils soient dans les deux empreintes ou dans une seule. Étape deux : de chacun, le plus grand exposant. Le deux est au carré dans le douze et tout seul dans le dix-huit : je garde celui au carré. Le trois est tout seul dans le douze et au carré dans le dix-huit : je garde celui au carré. Deux au carré fois trois au carré : quatre fois neuf, trente-six. Et encore pareil : trente-six est exactement ce qui est sorti en écrivant les multiples à la main. Et la raison du grand exposant : le multiple doit contenir les deux nombres entiers. Si je ne prenais qu'un trois, le dix-huit ne tiendrait pas dedans, parce que le dix-huit a besoin de deux trois pour exister. Voilà toute la différence entre les deux règles : dans le diviseur c'est le pauvre qui commande, dans le multiple c'est le riche.
La vérification
Et il y a une belle vérification que presque personne n'enseigne. Le plus grand commun diviseur multiplié par le plus petit commun multiple doit donner exactement la même chose que les deux nombres de départ multipliés. Allons à la calculatrice et voyons-le avec les nôtres. D'abord le six fois le trente-six, qui sont le diviseur et le multiple qu'on vient d'obtenir avec les facteurs premiers. Et ça donne deux cent seize. Maintenant les deux nombres de départ, le douze et le dix-huit, multipliés l'un par l'autre, pour voir ce qui sort. Et ça donne encore deux cent seize. Ça coïncide. Regarde bien ce qu'on compare : en haut le PGCD multiplié par le PPCM, en bas les deux nombres de l'énoncé. Et ce n'est pas un hasard : entre eux ils se partagent exactement les mêmes facteurs, l'un garde les petits exposants et l'autre les grands, donc les multiplier ramène tout. Si ces deux nombres ne te donnaient pas pareil, l'un des deux que tu as calculés est faux, et tu le sais avant de rendre quoi que ce soit.
Exercice 3 : le PGCD de 24 et 36
Troisième exercice, avec d'autres nombres et maintenant avec la méthode rapide, pour que tu voies que tu sais le faire. On nous demande le plus grand commun diviseur de vingt-quatre et trente-six. D'abord les empreintes. Vingt-quatre : par deux, douze ; par deux, six ; par deux, trois. Trois deux et un trois : deux au cube fois trois. Trente-six : par deux, dix-huit ; par deux, neuf ; le neuf par trois, trois ; et trois par trois, un. Deux au carré fois trois au carré. Et maintenant la règle du diviseur : seulement les communs, avec le plus petit exposant. Le deux est au cube et au carré : je garde celui au carré. Le trois est tout seul et au carré : je garde celui qui est seul. Deux au carré fois trois, quatre fois trois, douze. Et vérifie-le de tête, ça prend une seconde : douze tient dans vingt-quatre exactement deux fois, et dans trente-six, exactement trois fois. Et aucun nombre plus grand que douze n'y arrive.
Lequel te demande-t-on ?
Et maintenant ce qui coûte vraiment, et ce n'est pas de calculer. C'est de lire un problème et de savoir lequel des deux on te demande, parce que l'énoncé ne le dit jamais avec ces mots. La règle est courte. S'il y a quelque chose qui se répète et que tu dois attendre que les choses coïncident, c'est le plus petit commun multiple : des bus qui passent, des feux qui clignotent, des tours de piste. S'il y a quelque chose qui se partage en parts égales et aussi grandes que possible, c'est le plus grand commun diviseur : couper un ruban, répartir en sachets, faire des groupes. Et il y a une astuce pour le vérifier sans se rappeler la règle : demande-toi si la réponse doit sortir plus petite ou plus grande que les nombres de l'énoncé. Si elle doit sortir plus petite que les nombres, c'est un diviseur. Si elle doit être plus grande, c'est un multiple.
Exercice 4 : l'erreur la plus fréquente
Quatrième et dernier, et je vais le faire mal exprès. Un bus passe toutes les douze minutes et un autre toutes les dix-huit, et ils viennent de coïncider à l'arrêt. Quand coïncident-ils à nouveau ? Ça se répète et on attend qu'ils se rencontrent, c'est donc le plus petit commun multiple. Et par l'astuce de tout à l'heure : la réponse doit être plus grande que dix-huit, parce qu'il faut attendre. Maintenant, l'erreur la plus fréquente de toutes : les multiplier. Douze fois dix-huit, deux cent seize. Je la choisis. Et regarde ce qu'il répond : que ce deux cent seize est bien un multiple des deux, mais que ce n'est pas le plus petit, parce qu'ils coïncident bien avant. Il ne dit pas incorrect en me laissant où j'en étais : il me dit ce que j'ai fait de travers. La réponse est trente-six, qu'on avait déjà calculée. Et vérifie : trente-six sur douze font trois passages entiers du premier, et trente-six sur dix-huit font deux passages entiers du deuxième. Les deux arrivent juste, sans décimales. C'est ça, coïncider.
Récapitulatif
Récapitulons. Diviseur : il tient dedans, et le plus grand commun diviseur est le plus grand qui tient dans les deux. Multiple : il les contient, et le plus petit commun multiple est le plus petit qui les contient tous les deux. Avec les facteurs premiers, le diviseur prend les communs avec le petit exposant et le multiple les prend tous avec le grand. Et pour savoir lequel on te demande, demande-toi si la réponse sort plus grande ou plus petite. Entraîne-toi sur tutoriolab.com, barre f r, barre exercices, barre ppcm et pgcd : ils sortent différents à chaque fois et ils te disent quelle erreur tu as faite.
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Questions fréquentes
Quelle est la différence entre PPCM et PGCD ?
Le PGCD tient DANS les deux nombres, il est donc petit ; le PPCM les CONTIENT tous les deux, il est donc grand. Avec 12 et 18, le PGCD est 6 et le PPCM est 36 — les deux mêmes nombres, deux questions différentes.
Comment les calcule-t-on avec les facteurs premiers ?
Décompose les deux nombres (12 = 2²·3, 18 = 2·3²). Pour le PGCD prends seulement les facteurs communs, chacun avec le plus petit exposant : 2·3 = 6. Pour le PPCM prends tous les facteurs, chacun avec le plus grand exposant : 2²·3² = 36.
Pourquoi le PGCD prend-il le plus petit exposant ?
Parce qu'il doit tenir dans les deux nombres. Si tu prenais 2² il ne tiendrait pas dans 18, qui n'a qu'un seul 2. On ne peut pas dépenser plus que ce qu'a le plus pauvre. Le PPCM c'est l'inverse : il doit les contenir, donc c'est le plus riche qui commande.
Comment savoir lequel un problème demande ?
Si quelque chose se répète et que tu attends que ça coïncide — des bus, des feux, des tours — c'est le PPCM. Si quelque chose se partage en parts égales aussi grandes que possible — ruban, sachets, groupes — c'est le PGCD. L'astuce rapide : si la réponse doit être plus grande que les nombres c'est un multiple, si elle doit être plus petite, un diviseur.
Comment vérifier ma réponse ?
PGCD × PPCM doit égaler les deux nombres multipliés. Avec 12 et 18 : 6 × 36 = 216 et 12 × 18 = 216. Si ces deux-là ne coïncident pas, l'un des deux que tu as calculés est faux, et tu le sais avant de rendre quoi que ce soit.
Y a-t-il des exercices pour s'entraîner ?
Oui, et ils sont gratuits : tutoriolab.com/fr/exercices/ppcm-et-pgcd. Tu as de nouveaux nombres à chaque fois — PGCD, PPCM et problèmes — et quand tu te trompes, il ne dit pas "incorrect" : il te dit quelle erreur tu as faite et te montre le calcul fait.
