kgv en ggd: welke wordt er gevraagd?
De grootste gemene deler is het grootste getal dat precies in allebei past; het kleinste gemene veelvoud is het kleinste dat ze allebei bevat. Met 12 en 18: ggd 6 en kgv 36. Met de priemfactoren (12 = 2²·3 en 18 = 2·3²) neemt de ggd de gemene factoren met de kleinste exponent en het kgv alle met de grootste, en er komt dezelfde 6 en 36 uit. Controle: ggd × kgv = de twee getallen vermenigvuldigd (6 × 36 = 12 × 18 = 216). Om te weten welke gevraagd wordt: moet het antwoord groter zijn, dan is het het kgv; kleiner, dan de ggd.
kgv en ggd. En vooral: welke van de twee er gevraagd wordt.
Oefening 1: de ggd van 12 en 18
We beginnen met een oefening, niet met theorie. Rechts zie je het gereedschap waarmee we de hele video werken, en het vraagt ons naar de grootste gemene deler van twaalf en achttien. Laten we het in stukken nemen en met het middelste woord beginnen. Een deler van een getal is een ander getal dat er precies in past, zonder rest. Vier is een deler van twaalf, want drie keer vier is twaalf, precies. Vijf is er geen, want twee keer vijf is tien en drie keer vijf is vijftien: hij blijft eronder of gaat eroverheen. De delers van twaalf zijn dus deze zes: een, twee, drie, vier, zes en twaalf. En die van achttien zijn deze: een, twee, drie, zes, negen en achttien. Let erop dat de vier hier niet staat, want vier gaat niet precies op in achttien. Nu het woord gemeen, en dat betekent dat het in beide lijsten staat. Kijk: de een staat in allebei. De twee ook. De drie ook. En de zes ook. De vier niet, want die staat alleen boven. De negen ook niet, want die staat alleen onder. En tot slot grootste: de grootste van die vier. De zes. Grootste gemene deler van twaalf en achttien, zes. En het belangrijke is niet de zes: het belangrijke is dat de naam je bij elke stap zei wat je moest doen.
Oefening 2: het kgv van 12 en 18
Tweede oefening, en let op, want het zijn precies dezelfde twee getallen: nu wordt gevraagd naar het kleinste gemene veelvoud van twaalf en achttien. Weer in stukken. Een veelvoud van een getal is dat getal met iets vermenigvuldigd: met een, met twee, met drie, met wat dan ook. De veelvouden van twaalf zijn twaalf, vierentwintig, zesendertig, achtenveertig, en ze gaan eeuwig door. Die van achttien zijn achttien, zesendertig, vierenvijftig, en die gaan ook eeuwig door. Gemeen, net als daarnet: dat wat in beide lijsten staat. En daar is hij, de zesendertig, die boven opduikt en onder opduikt. En kleinste betekent de kleinste van de gemene. Als we door zouden schrijven, vonden we tweeënzeventig, dat ook in allebei staat, en honderdacht; maar de eerste die opduikt is zesendertig. Stop nu even een seconde en kijk naar wat er zojuist gebeurd is. Dezelfde twee getallen. Twee verschillende vragen. Zes en zesendertig. En er is een reden waarom het ene klein is en het andere groot: de deler moet erin passen, dus hij mag er niet bovenuit gaan. Het veelvoud moet ze bevatten, dus het mag er niet onder blijven. Als je één enkel idee uit deze video meeneemt, laat het dit zijn.
Zelf oefenen
En even wachten voordat we verdergaan. Het gereedschap dat je rechts ziet is van ons en het is gratis: tutoriolab.com, schuine streep n l, schuine streep oefeningen, schuine streep kgv en ggd. Gebruik het. Er is geen manier waarop dit beter blijft hangen dan door te oefenen, want lezen vergeet je en doen niet. En elke keer dat je erop gaat, krijg je andere oefeningen.
Waarom aftellen niet altijd kan
Met twaalf en achttien werkt het aftellen. Probeer het met vierentachtig en honderdzesentwintig en je ziet het probleem: alle delers van beide getallen opschrijven duurt een hele tijd, en je hoeft er maar één over te slaan om het antwoord fout te laten zijn zonder dat je het merkt. Er is een methode nodig die niet afhangt van het schrijven van hele lijsten. En die is er, maar eerst moet je leren de getallen op te delen.
De getallen opdelen
Een getal in priemfactoren ontbinden klinkt veel erger dan het is: het betekent het schrijven als een vermenigvuldiging van getallen die je niet verder kunt opdelen. Laten we de twaalf doen. Is hij deelbaar door twee? Ja: zes. En de zes door twee? Ja: drie. En de drie? Niet meer, want de drie is alleen deelbaar door een en door zichzelf. Twaalf is dus twee, keer twee, keer drie. En als een getal zich herhaalt, schrijf je het kort op, met een klein getal erboven dat exponent heet: twee tot de tweede, keer drie. Dat kleine tweetje erboven is niet nog een twee die vermenigvuldigt: het telt hoe vaak de twee voorkomt. Nu doen we de achttien. Achttien door twee, negen. De negen is niet meer deelbaar door twee, maar wel door drie: dat geeft drie. En drie door drie, een. Achttien is dus twee, keer drie, keer drie: twee, keer drie tot de tweede. Hier herhaalt de drie zich. En dat is het mooie: elk getal valt op precies één mogelijke manier uiteen, er zijn geen twee wegen. Daarom is die ontbinding zijn vingerafdruk.
De regel van de ggd
Met de twee vingerafdrukken voor ons komt de grootste gemene deler er in twee stappen uit. Stap een: je neemt alleen de factoren die in allebei staan. De twee staat in allebei. De drie staat in allebei. Stap twee: van elk de kleinste exponent. De twee staat in de twaalf tot de tweede en in de achttien alleen, dus ik neem de kleine: één twee. De drie staat in de twaalf alleen en in de achttien tot de tweede, dus ik neem weer de kleine: één drie. Twee keer drie, zes. En kijk goed naar die zes: het is precies dezelfde die twee minuten geleden uit het aftellen van de delers kwam. De snelle methode en de trage geven hetzelfde, en daarom kun je erop vertrouwen. En de reden voor de kleine exponent is deze: de grootste gemene deler moet in beide getallen passen. Als ik twee tot de tweede nam, paste hij niet in de achttien, die maar één twee heeft. Je kunt niet meer uitgeven dan de armste heeft.
De regel van het kgv
Het kleinste gemene veelvoud is dezelfde regel andersom. Stap een: je neemt alle factoren, of ze nu in beide vingerafdrukken staan of maar in één. Stap twee: van elk de grootste exponent. De twee staat in de twaalf in het kwadraat en in de achttien alleen: ik neem de gekwadrateerde. De drie staat in de twaalf alleen en in de achttien in het kwadraat: ik neem de gekwadrateerde. Twee tot de tweede keer drie tot de tweede: vier keer negen, zesendertig. En weer hetzelfde: zesendertig is precies wat er uit het met de hand opschrijven van de veelvouden kwam. En de reden voor de grote exponent: het veelvoud moet beide getallen helemaal bevatten. Als ik maar één drie nam, paste de achttien er niet in, want de achttien heeft twee drieën nodig om te bestaan. Daarin zit het hele verschil tussen de twee regels: bij de deler beslist de arme, bij het veelvoud beslist de rijke.
De controle
En er is een mooie controle die bijna niemand leert. De grootste gemene deler vermenigvuldigd met het kleinste gemene veelvoud moet precies hetzelfde geven als de twee begingetallen vermenigvuldigd. Laten we naar de rekenmachine gaan en het met de onze bekijken. Eerst de zes keer de zesendertig, dus de deler en het veelvoud die we net met de priemfactoren hebben gekregen. En het geeft tweehonderdzestien. Nu de twee begingetallen, de twaalf en de achttien, met elkaar vermenigvuldigd, om te zien wat eruit komt. En het geeft weer tweehonderdzestien. Het klopt. En dat is geen toeval: onderling delen ze precies dezelfde factoren, de een houdt de kleine exponenten en de ander de grote, dus ze vermenigvuldigen haalt alles terug. Als die twee getallen niet hetzelfde uitkwamen, zou een van de twee die je hebt uitgerekend fout zijn, en je weet het voordat je iets inlevert.
Oefening 3: de ggd van 24 en 36
Derde oefening, met andere getallen en nu met de snelle methode, zodat je ziet dat je het kunt. Gevraagd is de grootste gemene deler van vierentwintig en zesendertig. Eerst de vingerafdrukken. Vierentwintig: door twee, twaalf; door twee, zes; door twee, drie. Drie tweeën en een drie: twee tot de derde keer drie. Zesendertig: door twee, achttien; door twee, negen; de negen door drie, drie; en drie door drie, een. Twee tot de tweede keer drie tot de tweede. En nu de regel van de deler: alleen de gemene, met de kleinste exponent. De twee staat tot de derde en tot de tweede: ik neem de gekwadrateerde. De drie staat alleen en in het kwadraat: ik neem de alleenstaande. Twee tot de tweede keer drie, vier keer drie, twaalf. En controleer het uit je hoofd, dat duurt een seconde: twaalf past precies twee keer in vierentwintig en precies drie keer in zesendertig. En geen enkel getal groter dan twaalf lukt dat.
Welke wordt er gevraagd?
En nu wat echt moeilijk is, en dat is niet het rekenen. Het is een opgave lezen en weten welke van de twee gevraagd wordt, want de tekst zegt het nooit met die woorden. De regel is kort. Als iets zich herhaalt en je moet wachten tot dingen samenvallen, is het het kleinste gemene veelvoud: bussen die komen, lampen die knipperen, rondjes op een baan. Als iets in gelijke stukken wordt verdeeld, en zo groot mogelijk, is het de grootste gemene deler: een lint knippen, in zakjes verdelen, groepjes maken. En er is een truc om het te controleren zonder de regel te onthouden: vraag je af of het antwoord kleiner dan de getallen van de opgave moet uitkomen of groter. Als het kleiner dan de getallen moet uitkomen, is het een deler. Als het groter moet zijn, is het een veelvoud.
Oefening 4: de meest gemaakte fout
Vierde en laatste, en ik doe hem expres fout. Een bus komt elke twaalf minuten en een andere elke achttien, en ze zijn net bij de halte samengekomen. Wanneer komen ze weer samen? Ze herhalen zich en we wachten tot ze elkaar treffen, dus het is het kleinste gemene veelvoud. En volgens de truc van daarnet: het antwoord moet groter dan achttien zijn, want we moeten wachten. Nu de meest gemaakte fout van allemaal: ze vermenigvuldigen. Twaalf keer achttien, tweehonderdzestien. Ik kies hem. En kijk wat het antwoordt: dat die tweehonderdzestien wel een veelvoud van allebei is, maar niet het kleinste, want ze komen veel eerder samen. Het zegt niet fout en laat me staan waar ik stond: het zegt me wat ik verkeerd heb gedaan. Het antwoord is zesendertig, die we al hadden uitgerekend. En controleer het: zesendertig door twaalf is drie hele ritten van de eerste, en zesendertig door achttien is twee hele ritten van de tweede. Allebei komen precies aan, zonder decimalen. Dat is samenkomen.
Samenvatting
Laten we samenvatten. Deler: hij past erin, en de grootste gemene deler is de grootste die in allebei past. Veelvoud: het bevat ze, en het kleinste gemene veelvoud is het kleinste dat allebei bevat. Met priemfactoren neemt de deler de gemene met de kleine exponent en het veelvoud alle met de grote. En om te weten welke er gevraagd wordt, vraag je je af of het antwoord groter of kleiner uitkomt. Oefen het op tutoriolab.com, schuine streep n l, schuine streep oefeningen, schuine streep kgv en ggd: ze komen elke keer anders uit en ze zeggen je welke fout je hebt gemaakt.
Als dit je geholpen heeft, abonneer je.
Veelgestelde vragen
Wat is het verschil tussen kgv en ggd?
De ggd past IN beide getallen, dus hij is klein; het kgv BEVAT ze allebei, dus het is groot. Bij 12 en 18 is de ggd 6 en het kgv 36 — dezelfde twee getallen, twee verschillende vragen.
Hoe bereken je ze met priemfactoren?
Ontbind beide getallen (12 = 2²·3, 18 = 2·3²). Voor de ggd neem je alleen de gemene factoren, elk met de kleinste exponent: 2·3 = 6. Voor het kgv neem je alle factoren, elk met de grootste exponent: 2²·3² = 36.
Waarom neemt de ggd de kleinste exponent?
Omdat hij in beide getallen moet passen. Nam je 2², dan paste het niet in 18, die maar één 2 heeft. Je kunt niet meer uitgeven dan de armste heeft. Bij het kgv is het omgekeerd: het moet ze bevatten, dus beslist de rijkste.
Hoe weet ik welke in een verhaaltjessom gevraagd wordt?
Herhaalt iets zich en wacht je tot ze samenkomen — bussen, lampen, rondjes — dan is het het kgv. Wordt iets in gelijke, zo groot mogelijke stukken verdeeld — lint, zakjes, groepjes — dan is het de ggd. De snelle truc: moet het antwoord groter zijn dan de getallen, dan is het een veelvoud; kleiner, een deler.
Hoe controleer ik mijn uitkomst?
ggd × kgv moet hetzelfde geven als de twee getallen vermenigvuldigd. Bij 12 en 18: 6 × 36 = 216 en 12 × 18 = 216. Kloppen die twee niet, dan is een van beide fout, en je weet het voordat je iets inlevert.
Zijn er oefeningen om te trainen?
Ja, en ze zijn gratis: tutoriolab.com/nl/oefeningen/kgv-en-ggd. Je krijgt elke keer nieuwe getallen — ggd, kgv en verhaaltjessommen — en als je er een fout hebt, zegt het niet "fout": het zegt je welke fout je maakte, en laat je de uitgewerkte som zien.
