De volgorde van bewerkingen, van nul af
De rekenvolgorde is een trap met vier treden, altijd van boven naar beneden: haakjes, dan machten en wortels, dan vermenigvuldigen en delen, en als laatste optellen en aftrekken. 3 + 4 × 5 = 23, niet 35, want de × staat op een hogere trede dan de +. Een haakje gaat voor alles, daarom is (3 + 4) × 5 = 35 goed. En wat bijna niemand uitlegt: × en ÷ staan EVEN HOOG, dus een gelijkspel wordt van links naar rechts beslist — 24 ÷ 4 × 2 is 12, niet 3 — en bij + en − is het net zo. Meneer Van Dalen verbergt dat: de V gaat niet voor de D. Bij lange sommen: één bewerking per beurt en na elke stap alles opnieuw opschrijven.
De volgorde van bewerkingen, en een lange som helemaal uitgerekend.
Waarom er een volgorde nodig is
We beginnen bij het waarom, want als je het waarom eenmaal snapt, valt er niets meer uit je hoofd te leren. Kijk naar deze som: drie plus vier keer vijf. Als je hem aan tien mensen geeft, zeggen sommigen vijfendertig en anderen drieëntwintig. En dat is een serieus probleem, want een en dezelfde som kan niet twee verschillende uitkomsten hebben, afhankelijk van wie hem leest. Daarom hebben wiskundigen een volgorde afgesproken, één enkele volgorde die over de hele wereld geldt, zodat dezelfde som altijd hetzelfde betekent. En met die volgorde is het juiste antwoord drieëntwintig. Laten we nu zien waar dat vandaan komt.
De trap met vier treden
De volgorde is een trap met vier treden, en je gaat altijd van boven naar beneden. Trede één, vóór al het andere: de haakjes. Wat tussen haakjes staat wordt vóór alles opgelost. Trede twee: de machten en de wortels. Trede drie: de vermenigvuldigingen en de delingen. En trede vier, als laatste: de optellingen en de aftrekkingen. Schrijf de trap op, want hij verandert nooit: haakjes, machten, vermenigvuldigen en delen, optellen en aftrekken. En het belangrijke is dat je helemaal naar beneden gaat: je gaat niet naar de volgende trede zolang er nog iets van de vorige over is.
Waarom × vóór + gaat
Terug naar onze som: drie plus vier keer vijf. Wat staat hier? Er is een optelling en er is een vermenigvuldiging. We kijken naar de trap: de vermenigvuldiging staat op trede drie en de optelling op trede vier, dus de vermenigvuldiging gaat eerst. Vier keer vijf is twintig. En nu, pas nu, de optelling: drie plus twintig, drieëntwintig. Daar komt de drieëntwintig vandaan. En waar kwam de vijfendertig vandaan? Van eerst drie plus vier te doen, zeven, en met vijf te vermenigvuldigen. Dat krijg je als je de som leest alsof het een tekst is, van links naar rechts. En dat is precies wat je niet doet.
Haakjes gaan voor alles
Let nu op, want hier komt iets wat op een detail lijkt en dat niet is. Neem dezelfde getallen, drie, vier en vijf, met dezelfde tekens, en zet een haakje om het drie plus vier. Het haakje staat op trede één, wat betekent dat het voor al het andere gaat: wat erbinnen staat wordt eerst opgelost. Drie plus vier, zeven. En nu wat erbuiten staat: zeven keer vijf, vijfendertig. Dus die vijfendertig die eerst fout was, is met het haakje goed. Daar dient een haakje voor: om de volgorde expres te veranderen.
Gelijkspel: van links naar rechts
En nu het geval dat bijna niemand uitlegt en dat de helft van de opgaven beslist. Kijk hiernaar: vierentwintig gedeeld door vier, keer twee. Er staat hier een deling en een vermenigvuldiging, en beide staan op dezelfde trede, trede drie. Geen van beide gaat voor de ander. Wat dan? Dan, en pas dan, ga je van links naar rechts. De deling staat links, dus die gaat eerst: vierentwintig door vier is zes. En dan zes keer twee, twaalf. Het antwoord is twaalf. Had je eerst de vermenigvuldiging gedaan, vier keer twee acht, en vierentwintig door acht, dan had het je drie gegeven, en dat zou fout zijn. En bij de optellingen en de aftrekkingen gebeurt precies hetzelfde: zelfde trede, je gaat van links naar rechts.
Een lange: haakje en macht
En nu waar het echt om gevraagd wordt, namelijk een lange som. Deze: twee plus drie keer, haakje open, acht min vijf, haakje sluiten, in het kwadraat, gedeeld door negen. Hij ziet er eng uit, maar hij werkt net zo: je gaat de trap af en lost EÉN bewerking per beurt op. Trede één, haakjes: acht min vijf, drie. En nu, heel belangrijk, schrijf ik de hele som opnieuw op met die drie erin. Trede twee, machten: drie in het kwadraat, negen. En ik schrijf hem weer helemaal opnieuw.
Dezelfde, tot het eind
We gaan de trap verder af. Trede drie, vermenigvuldigen en delen, en beide staan even hoog, dus ik ga van links naar rechts: drie keer negen, zevenentwintig. En nu zevenentwintig door negen, drie. Ik hou twee plus drie over. Trede vier, de optelling: twee plus drie, vijf. De uitkomst is vijf. En let op wat ik net gedaan heb: één bewerking tegelijk, en na elke stap de hele som opnieuw opgeschreven. Precies dat zorgt ervoor dat je bij lange sommen de draad niet kwijtraakt.
Meneer Van Dalen en zijn val
En een woord over de ezelsbruggetjes, want je gaat ze tegenkomen en ze richten veel schade aan. Je kent vast Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord: machtsverheffen, vermenigvuldigen, delen, worteltrekken, optellen, aftrekken. Het probleem is dat het zo gelezen lijkt alsof vermenigvuldigen vóór delen gaat en optellen vóór aftrekken, en dat is onjuist. Vermenigvuldigen en delen staan op dezelfde trede, en optellen en aftrekken ook. De ezelsbruggetjes zeggen dat niet, en daarom nemen we hier de trap met vier treden: omdat die de gelijkspelen laat zien, en daar zit de dure fout.
Oefening 1, stap voor stap
Laten we de eerste oefening doen, en we lossen hem samen op voordat we iets aanraken. Vier plus drie keer zes. De eerste stap is niet rekenen: het is kijken welke bewerkingen er staan. Hier is een optelling en er is een vermenigvuldiging. Naar de trap: de vermenigvuldiging staat op trede drie, de optelling op trede vier, dus de vermenigvuldiging wint. En let op iets wat veel mensen op het verkeerde been zet: de vier staat het meest links, helemaal vooraan geschreven, en toch moet hij op zijn beurt wachten. De plaats waar een getal staat geeft het helemaal geen voorrang. We vermenigvuldigen: drie keer zes is achttien. En nu, ja, de optelling: vier plus achttien, tweeëntwintig. Het antwoord is tweeëntwintig. En kijk naar de tweeënveertig-val: die komt van vier plus drie op te tellen, zeven, en met zes te vermenigvuldigen. Het is precies de fout van de som van links naar rechts lezen. Ik markeer de tweeëntwintig. En let erop dat de tweeënveertig geen willekeurig fout getal is: het is wat je krijgt als je elke berekening zorgvuldig doet en toch in de verkeerde volgorde leest, en juist daarom pakt hij zoveel mensen.
Gratis oefenen
En ik wil dat je hier rechts goed naar kijkt, want het is van ons en het is gratis. Het is een oefenpagina: tutoriolab.com, schuine streep n l, schuine streep oefeningen, schuine streep rekenvolgorde. Je krijgt de drie gevallen uit de video: zonder haakjes, met haakjes en die met het gelijkspel, elke keer met andere getallen. En wat echt telt: als je er een fout hebt, gooit het je geen onjuist voor de voeten en laat het je staan waar je stond. Het zegt je welke fout je maakte, bij naam.
Oefening 2, stap voor stap
Tweede en laatste oefening, en het is juist die met het gelijkspel, die je helder moet hebben. Zesendertig gedeeld door zes, keer drie. Wat staat er? Een deling en een vermenigvuldiging, beide op trede drie. Een gelijkspel. Dus van links naar rechts, en links staat de deling. Zesendertig door zes is zes. En nu zes keer drie, achttien. Het antwoord is achttien. En kijk naar de twee-val: die komt van eerst zes keer drie te doen, achttien, en dan zesendertig door achttien. Het lijkt redelijk en het is fout, want het keer gaat niet voor het gedeeld door.
Wat je moet onthouden
Laten we doornemen wat je moet onthouden. De trap: eerst de haakjes, als tweede machten en wortels, als derde vermenigvuldigen en delen, en als vierde optellen en aftrekken. Als twee bewerkingen op dezelfde trede staan is er gelijkspel, en dat gelijkspel wordt van links naar rechts beslist, nooit door eerst te doen wat jou belangrijker lijkt. En voor lange sommen de truc die echt werkt: één bewerking per beurt oplossen en na elke stap de hele som opnieuw opschrijven. Oefen het op tutoriolab.com, schuine streep n l, schuine streep oefeningen, schuine streep rekenvolgorde.
Als dit je geholpen heeft, abonneer je.
Veelgestelde vragen
Wat is de volgorde van bewerkingen?
Eerst de haakjes, dan machten en wortels, dan vermenigvuldigen en delen, en als laatste optellen en aftrekken. Je gaat altijd van boven naar beneden en je gaat niet naar de volgende trede zolang er nog iets van de vorige over is.
Waarom is 3 + 4 × 5 gelijk aan 23 en niet 35?
Omdat de vermenigvuldiging op een hogere trede staat dan de optelling: 4 × 5 = 20 gaat eerst en dan 3 + 20 = 23. De 35 komt van links naar rechts lezen, en dat is precies wat je niet doet. Met een haakje, (3 + 4) × 5, zou de 35 goed zijn.
Gaat vermenigvuldigen vóór delen?
Nee. Ze staan even hoog, en dat is de meest gemaakte fout met Meneer Van Dalen: de V vóór de D is een leugen. Staan twee bewerkingen op dezelfde trede, dan beslist van links naar rechts. Daarom is 24 ÷ 4 × 2 gelijk aan 12 en niet 3. Bij optellen en aftrekken is het net zo.
Hoe los je een lange som op zonder de draad kwijt te raken?
Eén bewerking per beurt, en na elke stap de hele som opnieuw opschrijven. Dat opschrijven kost drie seconden en het voorkomt dat je halverwege een teken kwijtraakt. Voor 2 + 3 × (8 − 5)² ÷ 9: haakje, dan de macht, dan × en ÷ van links naar rechts, en als laatste de optelling.
Is Meneer Van Dalen fout?
Niet fout, maar misleidend: als rijtje letters gelezen suggereert het zes niveaus, en het zijn er vier. V en D zijn één niveau, O en A een ander. De trap met vier treden laat de gelijkspelen zien, en juist daar gebeurt de dure fout.
Zijn er oefeningen om te trainen?
Ja, en ze zijn gratis: tutoriolab.com/nl/oefeningen/rekenvolgorde. Je krijgt de drie gevallen uit de video — zonder haakjes, met haakjes en die met het gelijkspel — elke keer met nieuwe getallen, en als je er een fout hebt, zegt het je welke fout je maakte.
