Logaritmen, van nul af en makkelijk
Een logaritme is een macht van achteren bekeken: is 2³ = 8, dan is log₂8 = 3. Daarom betekent elke logaritme oplossen dat je één vraag beantwoordt: tot welke macht verhef ik het grondtal om het getal van binnen te krijgen? Staat er geen grondtal, dan is het 10 (de tiendelige logaritme) en bij machten van 10 is het genoeg om de nullen te tellen: log 1000 = 3, log 1.000.000 = 6. De logaritme van 1 is 0 bij elk grondtal (want b⁰ = 1) en die van het grondtal zelf is 1; die van 0 en die van een negatief getal bestaan niet. De drie regels komen uit de machten: log a + log b = log(a·b), log a − log b = log(a÷b) en log(aⁿ) = n·log a. En de duurste fout: log(a + b) is NIET log a + log b.
Logaritmen, van nul af en zonder iets uit je hoofd te leren.
Wat een logaritme vraagt
We beginnen met wat echt telt, want als je dat snapt is de rest van de video makkelijk. Een logaritme is geen rare bewerking: het is een macht van achteren bekeken. Neem deze macht: twee tot de derde is acht. Daar zitten drie stukken in: het grondtal, dat is de twee; de exponent, dat is de drie; en de uitkomst, dat is de acht. Normaal krijg je het grondtal en de exponent en vragen ze om de uitkomst. Nou, een logaritme doet het omgekeerde: hij geeft je het grondtal en de uitkomst, en vraagt je om de exponent. Log grondtal twee van acht is drie. En dat lees je precies zo: log grondtal twee van acht. Het is dezelfde som als eerst, alleen omgekeerd gevraagd.
Hoe je ze allemaal oplost
En daaruit volgt hoe je elke logaritme oplost, en dat is één enkele vraag: tot welke macht moet ik het grondtal verheffen om het getal van binnen te krijgen? Meer niet. Laten we er een doen: log grondtal drie van eenentachtig. Ik vraag me af tot welke macht ik de drie verhef. En ik probeer, dat werkt prima: drie tot de eerste is drie, te weinig. Drie in het kwadraat is negen, te weinig. Drie tot de derde is zevenentwintig, nog steeds te weinig. Drie tot de vierde is eenentachtig. Daar is hij. Dus log grondtal drie van eenentachtig is vier. En dat werkt bij allemaal: je zoekt altijd de exponent.
Grondtal 10: nullen tellen
Nu iets wat velen in het begin verwart. Soms zie je log alleen geschreven, zonder klein grondtalgetal. Dat is geen fout en geen rare afkorting: als er geen grondtal geschreven staat, is het grondtal tien, en die heet de tiendelige logaritme. Dus log van duizend, zonder grondtal, betekent log grondtal tien van duizend. Tot welke macht verhef ik tien om duizend te krijgen? Tien tot de derde is duizend, dus het antwoord is drie. En hier is een kortere weg die goud waard is: bij machten van tien is de logaritme simpelweg het aantal nullen. Log van duizend, drie nullen, drie. Log van een miljoen, zes nullen, zes. Je hoeft niets te proberen: de nullen doen het werk voor je.
log 1 = 0 en andere gevallen
En nu twee gevallen die in elk proefwerk voorkomen en die zonder reden afschrikken. Het eerste: de logaritme van één is altijd nul, bij elk grondtal. Waarom? Omdat een logaritme om de exponent vraagt, en je weet al dat elk getal tot de macht nul één geeft. Dus de exponent die je zoekt is nul. Het tweede: de logaritme van het grondtal zelf is één. Log grondtal vijf van vijf is één, want vijf tot de eerste is vijf. En een waarschuwing: er is geen logaritme van nul en geen van een negatief getal. Geen macht van een positief getal geeft nul of iets negatiefs, die vraag heeft dus geen antwoord. Als een opgave erom vraagt, is het antwoord dat hij niet bestaat, en dat zeggen is het juiste antwoord.
De som vermenigvuldigt
En nu de regels, waar het meest naar gezocht wordt. Het zijn er drie, en alle drie komen ze uit de rekenregels voor machten, er is dus niets nieuws uit je hoofd te leren. De eerste: de som van twee logaritmen met hetzelfde grondtal is de logaritme van het product. Oftewel, logaritmen optellen is binnen vermenigvuldigen. Waar komt dat vandaan? Daarvandaan dat bij het vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal de exponenten worden opgeteld. Laten we het met getallen zien. Log grondtal twee van vier, plus log grondtal twee van acht. Enerzijds: vier is twee in het kwadraat, dus de eerste is twee waard; en acht is twee tot de derde, dus de tweede is drie waard. Twee plus drie, vijf. En anderzijds: vier keer acht is tweeëndertig, en dat is twee tot de vijfde. Ook vijf. Het klopt.
Verschil deelt, exponent komt omlaag
De tweede regel is hetzelfde idee andersom: het verschil van twee logaritmen is de logaritme van het quotiënt. Logaritmen aftrekken is binnen delen, en dat komt ervan dat bij het delen van machten de exponenten worden afgetrokken. En de derde, die in proefwerken het meest gebruikt wordt: de logaritme van een macht is de exponent die buiten vermenigvuldigt. Oftewel, de exponent komt naar beneden. Log grondtal twee van acht tot de vierde is vier keer log grondtal twee van acht, dus vier keer drie, twaalf. Dus alle drie samen: de som vermenigvuldigt binnen, het verschil deelt binnen, en de exponent komt naar beneden om te vermenigvuldigen.
De duurste fout
En nu de fout die je moet afleren, want die komt het duurst te staan. Veel mensen krijgen bij de eerste regel een verkeerd idee en schrijven dat de logaritme van een som de som van de logaritmen is. En dat is onjuist. De regel gaat over de SOM VAN TWEE LOGARITMEN, die de logaritme van een product wordt. Hij zegt niets over wat er gebeurt als de som binnenin staat. De logaritme van a plus b valt niet te splitsen. Als je ooit twijfelt, is het middel altijd hetzelfde: schrijf het als machten en kijk wat er gebeurt.
Oefening 1, stap voor stap
Laten we de eerste oefening doen, en we lossen hem samen op voordat we iets aanraken. Log grondtal twee van tweeëndertig. We stellen de gebruikelijke vraag: tot welke macht moet ik de twee verheffen om tweeëndertig te krijgen? En we proberen, zonder haast: twee in het kwadraat is vier, te weinig. Twee tot de derde, acht, te weinig. Twee tot de vierde, zestien, te weinig. Twee tot de vijfde, tweeëndertig. En daar zijn we. Dus het antwoord is vijf. En kijk naar de tweeëndertig-val: tweeëndertig is het getal BINNENIN de logaritme, niet wat de logaritme waard is. Die van binnen verwarren met de uitkomst is de meest herhaalde fout van dit onderwerp. Ik markeer de vijf.
Gratis oefenen
En ik wil dat je hier rechts goed naar kijkt, want het is van ons en het is gratis. Het is een oefenpagina: tutoriolab.com, schuine streep n l, schuine streep oefeningen, schuine streep logaritmen. Je krijgt de drie gevallen uit de video: een gewone oplossen, een met grondtal tien en een met de somregel, elke keer met andere getallen. En wat echt telt: als je er een fout hebt, gooit het je geen onjuist voor de voeten en laat het je staan waar je stond. Het zegt je welke fout je maakte, bij naam.
Oefening 2, stap voor stap
Tweede en laatste oefening, en het is die met de regel. Log grondtal twee van vier, plus log grondtal twee van acht. Het eerste waar je naar kijkt is of beide hetzelfde grondtal hebben, want anders kunnen ze niet samen. Hier zijn beide grondtal twee, dus ja. We passen de eerste regel toe: de som van logaritmen is de logaritme van het product. Vier keer acht, tweeëndertig. Dit is dus log grondtal twee van tweeëndertig, en die hebben we al gedaan: hij is vijf. En kijk nog eens naar de tweeëndertig-val: de tweeëndertig is wat binnenin staat, en de stap om de logaritme op te lossen ontbreekt nog. Je had het ook apart kunnen doen: de eerste is twee waard, de tweede is drie waard, twee plus drie vijf. Dezelfde uitkomst.
Wat je moet onthouden
Laten we doornemen wat je moet onthouden. Eén: een logaritme vraagt om de exponent, de vraag is dus altijd tot welke macht ik het grondtal verhef. Twee: als er geen grondtal geschreven staat, is het grondtal tien, en bij machten van tien is het genoeg om de nullen te tellen. Drie: de regels, die allemaal uit de machten komen: de som van logaritmen vermenigvuldigt binnen, het verschil deelt binnen, en een exponent van binnen komt naar beneden om buiten te vermenigvuldigen. En vier, de reddingsboei: als je ergens de draad kwijtraakt, schrijf de logaritme dan als macht en het wordt vanzelf duidelijk. Oefen het op tutoriolab.com, schuine streep n l, schuine streep oefeningen, schuine streep logaritmen.
Als dit je geholpen heeft, abonneer je.
Veelgestelde vragen
Wat is een logaritme?
Het is een macht, omgekeerd gevraagd. Bij 2³ = 8 krijg je grondtal en exponent en vragen ze de uitkomst; een logaritme geeft je grondtal en uitkomst en vraagt de exponent: log₂8 = 3. Elke logaritme oplossen is antwoorden op "tot welke macht verhef ik het grondtal om het getal van binnen te krijgen?".
Wat betekent log zonder geschreven grondtal?
Grondtal 10, en dat heet de tiendelige logaritme. log 1000 is log grondtal 10 van 1000, dus 3, want 10³ = 1000. Bij machten van 10 is de logaritme simpelweg het aantal nullen.
Welke regels gelden voor logaritmen?
Drie, en alle drie komen uit de rekenregels voor machten: log a + log b = log(a·b) (logaritmen optellen vermenigvuldigt binnen), log a − log b = log(a÷b) (aftrekken deelt binnen) en log(aⁿ) = n · log a (de exponent komt naar beneden om te vermenigvuldigen).
Is log(a + b) hetzelfde als log a + log b?
Nee, en dat is de duurste fout van dit onderwerp. De regel zegt dat de SOM VAN TWEE LOGARITMEN de logaritme van een product is; over een som die binnenin staat zegt hij niets. De logaritme van een som valt niet te splitsen.
Waarom is de logaritme van 1 gelijk aan 0?
Omdat een logaritme om de exponent vraagt en elk getal tot de macht 0 één geeft. De exponent die je zoekt is dus 0, bij elk grondtal. Met dezelfde redenering is de logaritme van het grondtal zelf 1.
Zijn er oefeningen om te trainen?
Ja, en ze zijn gratis: tutoriolab.com/nl/oefeningen/logaritmen. Je krijgt de drie gevallen uit de video — een gewone oplossen, een met grondtal 10 en een met de somregel — elke keer met nieuwe getallen, en als je er een fout hebt, zegt het je welke fout je maakte.
