Kansrekening met dobbelstenen, van nul af
Kans is tellen: gunstige uitkomsten gedeeld door ALLE mogelijke uitkomsten. Met een dobbelsteen is P(4) = 1/6, want er is één goede zijde van zes; P(even) = 3/6, want het zijn er drie (2, 4 en 6) en onder blijven de zes zijden staan. Als het ene OF het andere van dienst is, worden ze OPGETELD: P(2 of 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6. Als allebei moeten gebeuren (EN), worden ze VERMENIGVULDIGD, en de mogelijke uitkomsten ook: bij twee worpen zijn er 6 × 6 = 36 paren, dus P(6 en 6) = 1/36. De EN met de OF verwarren is de meest gemaakte fout in dit onderwerp. En een dobbelsteen heeft geen geheugen: na vijf zessen is de volgende zes nog steeds 1/6 waard.
Kansrekening met dobbelstenen, van nul af en zonder rare formules.
Wat kans is
Laten we helemaal vooraan beginnen, want ik wil niets als bekend veronderstellen. Kans is geen raden en is geen geluk: het is tellen. Tellen hoeveel van de dingen die kunnen gebeuren die zijn die jou interesseren, en delen. Dat is alles, en daar komt de enige formule van deze video vandaan: kans is gunstige uitkomsten gedeeld door mogelijke uitkomsten. Het resultaat ligt altijd tussen nul en een. Nul betekent dat het onmogelijk is, en een betekent dat het gebeurt zeker. En we doen alles met een dobbelsteen, zoals het in de opgaven voorkomt: een gewone dobbelsteen, met zes zijden. Verder niets, en alles in deze video komt uit dat ene idee.
De breuk, stap voor stap
Eerste vraag, de makkelijkste van allemaal: hoe groot is de kans om een vier te gooien? We bouwen de breuk rustig op, want als je eenmaal begrijpt waar elk getal vandaan komt, zet je hem nooit meer verkeerd. Boven, in de teller, komen de gunstige uitkomsten: de zijden die je van dienst zijn. Hoeveel zijden van de dobbelsteen zijn een vier? Maar een. Boven staat dus een een. En onder, in de noemer, komen de mogelijke uitkomsten: elke zijde die kan komen, of hij je nu van dienst is of niet. Een dobbelsteen heeft zes zijden, onder staat dus een zes. De kans is een zesde. En als je hem als percentage wilt: een gedeeld door zes is nul komma een zes, dus zestien komma zeven procent.
Als meerdere zijden meetellen
Tweede vraag, iets interessanter: hoe groot is de kans om een even getal te gooien? Hier is er niet maar een goede zijde. Welke zijn de even getallen op een dobbelsteen? Twee, vier en zes. Drie zijden. Boven staat dus een drie. En let nu op, want hier gaat bijna iedereen de mist in: onder komt GEEN drie. Onder blijven er zes staan, want de dobbelsteen heeft nog steeds zes zijden. Wat verandert is wat erboven staat, nooit wat eronder staat. De kans is drie zesden, en dat is precies de helft, en dat is logisch: de helft van de zijden van een dobbelsteen is even. Elke keer dat het antwoord precies een helft is, is dat een goed teken dat je goed geteld hebt.
De OF: ze worden opgeteld
En nu komen we bij wat er echt gevraagd wordt, namelijk de twee woorden die alles in de war schoppen: de OF en de EN. We beginnen met de OF, dat is de makkelijke. De OF betekent dat of het ene van dienst is of het andere van dienst is: zolang een van de twee gebeurt, ben je klaar. Bijvoorbeeld: hoe groot is de kans op een twee of een vijf? De twee is een zesde waard. De vijf is een zesde waard. En omdat allebei je goed uitkomen, worden ze opgeteld: een zesde plus een zesde is twee zesden. Dat is de regel van de OF: ze worden opgeteld. En een belangrijke waarschuwing: dat geldt zolang de twee dingen niet tegelijk kunnen gebeuren, en precies dat is zo bij de zijden van een dobbelsteen, want er komt er maar een.
De EN: ze worden vermenigvuldigd
En nu de EN, die je echt in de keel blijft steken. De EN betekent dat allebei de dingen moeten gebeuren, een is niet genoeg. Bijvoorbeeld: je gooit twee keer, hoe groot is de kans op een zes en daarna nog een zes? Belangrijk is hier te merken dat de mogelijke uitkomsten niet meer zes zijn. Bij twee worpen kan elke zijde van de eerste zich met elke zijde van de tweede koppelen: zes keer zes, zesendertig mogelijke paren. En van die zesendertig, hoeveel zijn er goed? Maar een, het paar met twee zessen. De kans is dus een op zesendertig. En let op wat er met het getal gebeurd is: een zesde keer een zesde is een zesendertigste, veel kleiner. Dat is logisch, want twee dingen tegelijk vragen is moeilijker dan er een vragen.
De twee naast elkaar
En nu wil ik dat je ze allebei samen ziet, want los vergeet je ze en samen onderscheiden ze zichzelf. De OF telt op, en het resultaat gaat omhoog, want je hebt meer manieren om het goed te hebben. De EN vermenigvuldigt, en het resultaat gaat omlaag, want je vraagt meer dingen. En als je een keer niet weet welke van de twee geldt, stel jezelf deze vraag: is het genoeg dat er maar een van de twee gebeurt? Zo ja, dan worden ze opgeteld. Heb je allebei nodig? Dan is het een EN en worden ze vermenigvuldigd. Ze verwarren is met afstand fout nummer een in elke kansopgave.
Oefening 1, stap voor stap
Laten we de eerste oefening doen, en we lossen hem samen op voordat we iets aanraken. In een zak zitten vier rode knikkers, drie blauwe en vijf groene. Je pakt er een zonder te kijken: hoe groot is de kans dat hij blauw is? Eerst wat erboven staat, de gunstige uitkomsten: de blauwe, en dat zijn er drie. En nu wat eronder staat, de mogelijke uitkomsten, en daar zit de valstrik: het zijn alle knikkers in de zak, niet alleen die niet blauw zijn. Vier plus drie plus vijf, twaalf. De kans is dus drie twaalfde. En kijk naar de valstrik drie negende: negen is het aantal knikkers dat NIET blauw is, en dat zijn niet de mogelijke uitkomsten. De mogelijke uitkomsten zijn altijd alle. En let erop dat de breuk als drie twaalfde blijft staan, niet vereenvoudigd, want hier leer je waar elk getal vandaan komt. Ik markeer drie twaalfde.
Gratis oefenen
En ik wil dat je hier rechts goed naar kijkt, want het is van ons en het is gratis. Het is een oefenpagina: tutoriolab.com, schuine streep n l, schuine streep oefeningen, schuine streep kansrekening. Je krijgt de drie dingen uit de video: de breuk, de EN en de OF, met elke keer andere zakken en worpen, je kunt dus oefenen zonder dat het zich herhaalt. En wat echt telt: als je er een fout hebt, gooit het je geen onjuist voor de voeten en laat je staan waar je stond. Het zegt je welke fout je maakte, bij naam.
Oefening 2, stap voor stap
Tweede en laatste oefening, en het is die met de EN, die je helder moet hebben. Je gooit twee keer: hoe groot is de kans op een zes bij de eerste worp en bij de tweede een even getal? Eerst herkennen welke het is: er staat EN, en allebei de dingen zijn nodig, er wordt dus vermenigvuldigd. Laten we elke worp apart nemen. Eerste worp, een zes gooien: er is een goede zijde van de zes, dus een zesde. Tweede worp, een even getal gooien: twee, vier en zes, drie goede zijden van de zes, dus drie zesden. En nu worden ze vermenigvuldigd: een keer drie is drie boven, en zes keer zes is zesendertig onder. Drie zesendertigste. En kijk naar de valstrik met de vier: die komt van een plus drie optellen in plaats van vermenigvuldigen. Precies dat is de verwarring uit deze video.
Een dobbelsteen heeft geen geheugen
En voordat we afsluiten, iets dat gezegd moet worden omdat het veel mensen geld kost: de dobbelsteen heeft geen geheugen. Als er vijf zessen achter elkaar gekomen zijn, is de kans dat de volgende een zes is nog steeds precies een zesde. Niet meer en niet minder. De dobbelsteen herinnert zich niet wat hij eerder deed, en er is geen getal dat aan de beurt is. Dat idee dat er iets aan de beurt zou zijn heet de gokkersmisvatting, en het is een fout, geen strategie. Elke worp begint bij nul. En dat geldt niet alleen voor dobbelstenen: bij een munt, bij een roulette en bij een loterijtrekking is het net zo. Wat geen geheugen heeft, kan je niets schuldig zijn.
Wat je meeneemt
Laten we doornemen wat je moet meenemen. Ten eerste: kans is gunstige uitkomsten gedeeld door alle mogelijke uitkomsten, en onder staan altijd alle, zonder uitzondering. Ten tweede: als het ene of het andere van dienst is, worden ze opgeteld. Ten derde: als allebei moeten gebeuren, worden ze vermenigvuldigd, en denk eraan dat dan ook de mogelijke uitkomsten vermenigvuldigd worden. En ten vierde, de reddingsboei: als je de draad kwijtraakt, tel de uitkomsten dan stuk voor stuk, want het zijn er weinig. Oefen het op tutoriolab.com, schuine streep n l, schuine streep oefeningen, schuine streep kansrekening.
Als dit je geholpen heeft, abonneer je.
Veelgestelde vragen
Hoe bereken je een kans?
Je telt de gunstige uitkomsten (die je van dienst zijn) en deelt door de mogelijke uitkomsten (alles wat kan gebeuren). Bij een dobbelsteen is de kans om een 4 te gooien 1/6: één goede zijde van zes zijden.
Wanneer tel je kansen op en wanneer vermenigvuldig je ze?
Is het ene OF het andere van dienst, dan worden ze OPGETELD: P(2 of 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6. Moeten allebei gebeuren (EN), dan worden ze VERMENIGVULDIGD: P(6 en daarna 6) = 1/6 × 1/6 = 1/36. De vraag die het beslist is "is één ervan genoeg voor mij?": zo ja, dan is het een OF; heb je allebei nodig, dan is het een EN.
Waarom zijn er bij twee dobbelstenen 36 mogelijke uitkomsten en geen 12?
Omdat elke zijde van de eerste dobbelsteen zich met elke zijde van de tweede kan koppelen: 6 × 6 = 36 verschillende paren. 6 + 6 rekenen zou zijden tellen, geen paren, en het gaat om paren.
Waarom staat er bij P(even) onder een 6 en geen 3?
Omdat onder ALTIJD alle mogelijke uitkomsten staan, en de dobbelsteen heeft nog steeds zes zijden, of er nu even of oneven komt. Het enige wat de vraag verandert is het getal erboven. Het is de meest gemaakte fout in dit onderwerp.
Er zijn vijf zessen achter elkaar gekomen, is er nog een waarschijnlijker?
Nee, en ook niet minder waarschijnlijk: hij is nog steeds 1/6. Een dobbelsteen heeft geen geheugen voor eerdere worpen. Denken dat een getal "aan de beurt" is heet de gokkersmisvatting en is een fout, geen strategie.
Zijn er oefeningen om te trainen?
Ja, en ze zijn gratis: tutoriolab.com/nl/oefeningen/kansrekening. Je krijgt elke keer nieuwe zakken en worpen, met de drie gevallen uit de video — de breuk, de EN en de OF — en als je er een fout hebt, zegt het je welke fout je maakte, en laat je de uitgewerkte som zien.
