Nombres décimaux : additionner et multiplier
Additionner et multiplier des décimaux suit des règles CONTRAIRES, et les confondre est l'erreur la plus fréquente. Pour ADDITIONNER : aligner les virgules l'une sous l'autre, compléter avec des zéros pour que les deux aient le même nombre de décimales, et additionner colonne par colonne (12,45 + 3,80 = 16,25). Pour MULTIPLIER : n'aligner rien. Multiplier comme s'il n'y avait pas de virgules (24 × 15 = 360) puis compter combien de décimales avaient les deux nombres de départ ; c'est de ce nombre de rangs que la virgule se déplace depuis la droite (1 + 1 = 2, donc 3,60). Pour multiplier par 10, 100 ou 1000, compter les zéros et déplacer la virgule d'autant de rangs vers la droite, en complétant avec des zéros si les chiffres manquent (3,7 × 100 = 370). Et ajouter des zéros à la fin d'un décimal ne change jamais sa valeur.
Les nombres décimaux : les additionner et les multiplier, sans rien sauter.
Ce qu'est un nombre décimal
Commençons par le tout début, parce que je ne veux rien supposer. Un nombre décimal est un nombre qui a une virgule, et cette virgule sépare deux choses : à gauche il y a les entiers, les unités complètes, et à droite il y a ce qui reste, la partie qui n'atteint pas une unité entière. Par exemple, trois virgule sept cinq, c'est trois unités entières et soixante-quinze centièmes en plus. Et je veux qu'une chose soit claire dès le début, parce que c'est le malentendu le plus fréquent : ce ne sont pas deux nombres collés l'un à l'autre. C'est un seul nombre, qui vaut un peu plus que trois et un peu moins que quatre.
Ce que vaut chaque rang
Et maintenant ce qu'il faut vraiment comprendre, parce que tout le reste vient de là : chaque rang après la virgule vaut quelque chose de différent. Le premier chiffre après la virgule, ce sont les dixièmes, c'est-à-dire des parts de dix. Le deuxième, ce sont les centièmes, des parts de cent. Et le troisième, ce sont les millièmes, des parts de mille. C'est pour ça que zéro virgule cinq et zéro virgule zéro cinq ne valent pas pareil, même si les deux ont un cinq : dans le premier le cinq vaut cinq dixièmes, et dans le deuxième cinq centièmes, c'est-à-dire dix fois moins. Et il y a une conséquence qu'on va beaucoup utiliser : ajouter des zéros à la fin, après le dernier chiffre, ne change pas le nombre. Trois virgule huit, c'est exactement la même chose que trois virgule quatre-vingts.
Additionner : aligner les virgules
On commence par l'addition, c'est ce qu'on cherche le plus. Et la règle est une seule, très courte : quand on additionne des décimaux, on aligne les virgules. Tu écris les deux nombres l'un sous l'autre pour que la virgule du haut soit juste au-dessus de la virgule du bas. Et pourquoi ? Eh bien à cause de ce qu'on vient de voir : parce que comme ça les unités vont avec les unités, les dixièmes avec les dixièmes et les centièmes avec les centièmes. Si tu ne les alignes pas, tu finis par ajouter des dixièmes à des centièmes, ce qui revient à ajouter des euros à des centimes sans t'en rendre compte.
L'addition, pas à pas
Faisons l'exemple : douze virgule quarante-cinq plus trois virgule huit. La première chose, et ça aide beaucoup, c'est d'égaliser le nombre de décimales. Le premier en a deux et le deuxième en a une, donc on ajoute un zéro à la fin du deuxième : trois virgule quatre-vingts. Et on sait déjà que ça ne change pas sa valeur. Maintenant on les écrit l'un sous l'autre avec les virgules alignées et on additionne colonne par colonne, en commençant par la droite, comme une addition de tous les jours. Cinq plus zéro, cinq. Quatre plus huit, douze : j'écris deux et je retiens un. Maintenant les unités : deux plus trois font cinq, plus le un que je retenais, six. Et le un des dizaines descend. Seize virgule vingt-cinq. Et la virgule descend à sa place, dans la même colonne.
Exercice 1, pas à pas
Faisons le premier exercice, et on va le faire ensemble au tableau avant de toucher à quoi que ce soit. C'est cette même addition : douze virgule quarante-cinq plus trois virgule huit. D'abord on égalise les décimales : le trois virgule huit devient trois virgule quatre-vingts. On les met en colonne avec les virgules alignées. On additionne de droite à gauche : cinq plus zéro, cinq. Quatre plus huit, douze, j'écris le deux et je retiens un. Deux plus trois, cinq, plus le un que je retiens, six. Et le un descend. Seize virgule vingt-cinq. Et regarde le piège du douze virgule quatre-vingt-trois, qui est le meilleur de tous : il vient de ne pas aligner les virgules, d'additionner le huit avec le quatre comme si le huit était des centièmes. Je marque seize virgule vingt-cinq.
S'entraîner gratuitement
Et je veux que tu regardes bien ceci à droite, parce que c'est à nous et c'est gratuit. C'est une page d'exercices : tutoriolab.com, barre f r, barre exercices, barre nombres décimaux. Chaque fois que tu y vas tu as des nombres différents, tu peux donc t'entraîner autant que tu veux sans que ça se répète. Et ce qui compte vraiment : quand tu te trompes, il ne te balance pas un incorrect en te laissant où tu en étais. Il te dit quelle erreur tu as faite, par son nom, et il te montre le calcul fait.
Multiplier : la règle contraire
Maintenant la multiplication, et voici la partie qui embrouille le plus, alors fais attention : la règle est le contraire de celle de l'addition. Quand on multiplie des décimaux, on n'aligne PAS les virgules. On ne les aligne pas. Ce qu'on fait, c'est multiplier les deux nombres comme si les virgules n'existaient pas, comme si c'étaient des entiers ordinaires. Et quand tu as déjà le résultat, alors, et seulement alors, tu comptes combien il y avait de décimales en tout entre les deux nombres de départ, et tu mets la virgule. Ces deux règles contraires sont l'erreur numéro un du sujet : on additionne en alignant et on multiplie en comptant.
La multiplication, pas à pas
Faisons l'exemple : deux virgule quatre fois un virgule cinq. Étape un, on enlève les virgules de la tête et on multiplie vingt-quatre par quinze. Vingt-quatre fois cinq font cent vingt. Vingt-quatre fois dix font deux cent quarante. En additionnant, trois cent soixante. Étape deux, on compte les décimales des nombres de départ : deux virgule quatre en a une, et un virgule cinq en a une autre. Un plus un, deux. Donc dans le résultat la virgule se place deux rangs en comptant depuis la droite. Trois cent soixante avec la virgule deux rangs vers la gauche, ça fait trois virgule soixante. Et voilà le résultat : trois virgule six.
Exercice 2, pas à pas
Deuxième et dernier exercice, et c'est cette même multiplication : deux virgule quatre fois un virgule cinq. Je refais tout le chemin pour que ça rentre. Étape un : virgules enlevées, vingt-quatre fois quinze, ça fait trois cent soixante. Étape deux : je compte les décimales, une dans chaque nombre, deux en tout. Étape trois : je mets la virgule deux rangs depuis la droite dans le trois cent soixante, et il me reste trois virgule soixante. Et maintenant regarde le piège du trente-six virgule zéro, parce qu'il est très bon : ce nombre vient d'avoir compté une seule décimale au lieu de deux. Le résultat est le même trois cent soixante ; la seule chose qui change, c'est où tu as mis la virgule, et c'est tout l'exercice. C'est pour ça que compter les décimales n'est pas un détail : c'est l'étape qui décide le résultat.
Le raccourci du 10 et du 100
Et maintenant un raccourci qu'on cherche énormément et qui vaut la peine d'être su par cœur : multiplier par dix, par cent ou par mille. Pour ça tu n'as rien à multiplier. Tu n'as qu'à compter les zéros qu'a le dix, le cent ou le mille, et déplacer la virgule d'autant de rangs vers la droite. Vers la droite, et c'est ça qu'il faut retenir, parce que multiplier rend le nombre plus grand.
Déplacer la virgule
Regardons. Trois virgule sept fois dix. Le dix a un zéro, donc la virgule se déplace d'un rang vers la droite : trente-sept. Maintenant trois virgule sept fois cent. Le cent a deux zéros, donc la virgule se déplace de deux rangs. Mais attention, après le sept il n'y a plus de chiffres : quand ça arrive, on complète avec des zéros. Trois virgule sept devient trois cent soixante-dix. Et pour diviser c'est exactement pareil mais à l'envers : la virgule va vers la gauche, parce que diviser rend le nombre plus petit.
Les deux règles
Passons en revue, et l'important c'est de ne pas confondre les deux premières, qui sont contraires. Un : pour additionner ou soustraire, aligner les virgules, l'une sous l'autre, et compléter avec des zéros si besoin. Deux : pour multiplier, n'aligner rien du tout ; multiplier comme s'il n'y avait pas de virgules et ensuite compter combien il y avait de décimales en tout. Trois : pour multiplier par dix, cent ou mille, compter les zéros et déplacer la virgule vers la droite. Et quatre, qui aide pour tout ce qui précède : ajouter des zéros à la fin d'un décimal ne change pas sa valeur. Entraîne-toi sur tutoriolab.com, barre f r, barre exercices, barre nombres décimaux.
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Questions fréquentes
Comment additionne-t-on des nombres décimaux ?
Aligne les virgules l'une sous l'autre, complète avec des zéros pour que les deux aient le même nombre de décimales, et additionne colonne par colonne depuis la droite comme d'habitude. La virgule descend dans la même colonne : 12,45 + 3,80 = 16,25.
Aligne-t-on les virgules quand on multiplie des décimaux ?
Non, et c'est exactement le contraire de l'addition. On multiplie comme s'il n'y avait pas de virgules, et seulement à la fin on compte combien de décimales avaient les nombres de départ et on déplace la virgule d'autant de rangs depuis la droite.
Combien de décimales a le résultat d'une multiplication ?
Autant que les deux nombres de départ en ont ensemble. 2,4 en a une et 1,5 en a une, donc le résultat en a deux : 24 × 15 = 360 devient 3,60. En compter une au lieu de deux donne 36,0, et c'est le piège le plus fréquent.
Comment multiplie-t-on un décimal par 10, 100 ou 1000 ?
Compte les zéros et déplace la virgule d'autant de rangs vers la droite, parce que multiplier rend le nombre plus grand. 3,7 × 10 = 37 et 3,7 × 100 = 370, en complétant avec des zéros quand les chiffres manquent. Pour diviser, la virgule va vers la gauche.
0,5 est-il la même chose que 0,05 ?
Non. Le premier chiffre après la virgule ce sont les dixièmes et le deuxième les centièmes, donc 0,5 est dix fois plus grand que 0,05 même si les deux ont un cinq. Ce qui ne change rien, c'est d'ajouter des zéros à la FIN : 3,8 = 3,80 = 3,800.
Y a-t-il des exercices pour s'entraîner ?
Oui, et ils sont gratuits : tutoriolab.com/fr/exercices/nombres-decimaux. Tu as de nouveaux nombres à chaque fois — additionner, multiplier et le raccourci du 10, 100 et 1000 — et quand tu te trompes, il te dit quelle erreur tu as faite et te montre le calcul fait.
